Die Lösungsmenge der Gleichung

Question

Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Die Lösungsmenge der Gleichung

\( x y=0 \)
ist eine Gerade in \( \mathbb{R}^{2} \).
Hinweis: Zeichnen Sie eine Skizze der Lösungsmenge \( L=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x y=\right. \) \( 0\} \). Beachten Sie: Wenn das Produkt von zwei reellen Zahlen gleich 0 ist, und ein Faktor ungleich 0 ist, ist der andere Faktor 0 . Machen Sie damit Fallunterscheidungen für die verschiedenen Werte von \( x \) bzw. \( y \). Dananch machen Sie einen Beweis.

Comments

Hinweis: Zeichnen Sie eine Skizze der Lösungsmenge

Skizze fehlt.

Answer 1

Aloha :)

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist:$$x\cdot y=0\quad\implies\quad x=0\;\lor\;y=0$$

1. Fall \(x=0\)

Für alle Punkte der Lösungsmenge gilt:$$\binom{x}{y}=\binom{0}{y}=\binom{0}{0}+y\binom{0}{1}$$Da \(y\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, liegen alle Lösungen auf einer Geraden durch den Punkt \((0|0)\) mit dem Richtungsvektor \(\binom{0}{1}\). Das ist genau die \(y\)-Achse des Koordinatensystems.

2. Fall \(y=0\)

Für alle Punkte der Lösungsmenge gilt:$$\binom{x}{y}=\binom{x}{0}=\binom{0}{0}+x\binom{1}{0}$$Da \(x\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, liegen alle Lösungen auf einer Geraden durch den Punkt \((0|0)\) mit dem Richtungsvektor \(\binom{1}{0}\). Das ist genau die \(x\)-Achse des Koordinatensystems.

Damit liegen alle Lösungen der Gleichung auf den Koordinatenachsen. Streng genommen ist jede Koordinatenachse für sich eine Gerade.

Die Behauptung ist also falsch. Die Lösungsmenge ist nicht eine Gerade, sondern zwei Geraden.