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Es sei abc ein Dreieck und qa,qb,qc Berührpunkte des Inkreises.

Ich möchte die Punkte als Affinkombinationen darstellen, da habe ich leider Schwierigkeiten bei.

Jeder Punkt im Dreieck muss ja durch eine Kombination von a,b und c dargestellt werden können..

Sei qa der Berührpunkt zwischen cb, dann muss ja schonmal c=0 sein oder ?

Wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte, da ich keine Beispiele finde um das zu verstehen.

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Wenn bei Euch die Eckpunkte mit \(a\), \(b\) und \(c\) bezeicnet werden, wie bezeichnet Ihr dann die Seitenlängen?$$\text{z.B.:}\quad |ab|=\,?$$

mit x,y und z

2 Antworten

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Hallo,

Sei qa der Berührpunkt zwischen cb, dann muss ja schonmal c=0 sein oder ?

wohl eher \(a=0\) - oder?

'ne Skizze ist auf jeden Fall von Vorteil:

blob.png

mal angenommen, das rot markierte Streckenstück sei \(|bq_a|=p\), dann ließe sich der Punkt \(q_a\) in Form einer Affinkombination schreiben als$$q_a = \frac px c + \frac{x -p}{x}b$$Setze \(p\) mal auf \(p=0\) bzw. \(p=x\), und prüfe, ob dies zu sinnvollen Ergebnissen führt.

Für die Berührpunkte des Inkreises gilt doch, wegen der Symmetrie zur jeweiligen Winkelhalbierenden:$$|q_cb| = |q_ab| \quad |q_ac| = |q_bc|\quad |q_ba| = |q_ca|$$und daraus folgt weiter$$y + p= \frac12(x + y + z) \\ \implies p = \frac12(x - y + z)$$und dies setzt man in die obige Gleichung für \(q_a\) ein:$$q_a = \frac 1x\left(\frac12(x - y + z)c + (x -\frac12(x - y + z))b\right) \\ \phantom{q_a} = \frac 1{2x}\left( (x - y + z)c + (x + y - z)b\right) \\ \phantom{q_a} = \left(\frac 12 - \frac{y - z}{2x}\right)c + \left(\frac 12 + \frac{y - z}{2x}\right)b$$Die Affinkombinationen für \(q_b\) und \(q_c\) erhält man über einen zyklischen Ringtausch von \(x\), \(y\) und \(z\) und \(a\), \(b\) und \(c\).

Gruß Werner

Avatar von 48 k

... ich musste es noch mal korrigieren. Ich hatte an einer Stelle \(y\) und \(z\) vertauscht.

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Na ja rechnen möcht ich das nicht, aber im CAS

blob.png

Wenn ich die Parallelen zu Geraden der Dreiesckseiten (1) BA, (2) BC, (3) CA um den Inkreisradius r nach innen schiebe und schneide erhalte ich den Inkreismittelpunkt. Die dabei ermittelten Geradenparameter ta,tb,tc führen dann auf die Tangentenpunkte z.B. QAB...

Willst Du mit einem allgemeinen Ansatz arbeiten?

Avatar von 21 k

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