s hermitesche Sesquilinearform zeigen

Question

Aufgabe:

A ∈ M(3x3; ℂ) hermitesche Matrix und s: ℂ³  × ℂ³ → ℂ definiert durch s(x,y) := x^tA‾ =

\( \sum\limits_{k,l=1}^{3}{ a_kl x_k y‾_l} \) . Zu zeigen: S hermitesche Sesquilinearform.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Comments

Wie gehe ich hier vor?

Indem du es erst einmal so aufschreibst, dass man es auch
einwandfrei lesen kann.

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Hallo,

ich glaube, das System kommt ducheinander, wenn ich zwei Indizes, k und l, im Summenzeichen nutze.

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Meintest Du so was

$$ s(x,y) = x^t A \overline{y} = \sum_{k,l=1}^3 a_{k,l} x_k \overline{y_l} $$ und

$$  \overline{A} = A^t $$

Und was sind die Bedingungen die für eine hermitesche Sesquilinearform erfüllt sein müssen? Bitte mal aufschreiben.

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Ja, genau, vielen Dank!

s muss im ersten Argument linear sein und im zweiten Argument semilinear, d.h.

B1 s(v+v', w) = s(v,w) + (s',w), s(λv,w) = λs(v,w)

B2 s(v, w + w') = s(v,w) + s(v, w'), s(v, λw) = λ⁻s(v,w)

(B1 und B2 für sesquilinear),

und H s(w,v) = ( s(v,w) )‾ für hermitesch.

‾ soll für den Strich genau drüber stehen, ich finde diese Funktion hier im Editor irgendwie nicht. Aber du hast sie ja auch genutzt, irgendwo muss sie sein.

Answer 1

Also mal ein Beispiel:

$$ s(v+v',w) = (v+v')^t A \overline{w} = v^t A \overline{w} + v'^t A \overline{w} = s(v,w)+s(v',w) $$

Jetzt noch die Symmetrie

$$ \overline{ s(v,w) } = \overline{ v^t A \overline{w} } = \overline{v}^t \overline{A} w = \left( \overline{v}^t \overline{A} w \right)^t = w^t\overline{A}^t \overline {v } = w^t A \overline {v }  = s(w,v) $$

Das andere geht auf die gleiche Art und Weise.

Comments

Danke, ich versuche das heute nachmittag mal, und stelle meinen Lösungsvorschlag hier rein!

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Kannst du mir vielleicht sagen, wo ich den Überstrich im Editor finde?

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Ich mach das mit Latex, da heisst der Befehl \overline{x}

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Danke dir. Ich checks irgendwie nicht.

Ich verstehe zwar dein Beispiel. Aber wie wende ich das so auf meine Aufgabe an. Auf s(x,y). Ich muss das doch auf den rechten teil nach dem gleichzeichen, also dem teil mit dem summenzeichen anwenden, oder nicht? Was davon ist denn v bzw w...

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Ich versteh nicht ganz was Du meinst. Versuch doch mal folgendes zu beweisen

$$ s(\lambda v , w) = \lambda s(v,w) $$ indem Du die Definition für \( s(v,w) \) benutzt und poste das mal hier. Dann kann ich die konkreter helfen.

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He? War denn dein Beispiel schon der Beweis für die ersten beiden Eigenschaften?

s(x,y) ist laut Aufgabenstellung doch definiert. Muss ich das nicht damit beweisen? Sonst wäre der Beweis doch immer gleich für s(x,y), egal, wie es jeweils definiert wäre.

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Ich habe probleme damit, die Variablen von s(x,y), also x und y, auf der rechten Seite der Gleichung wiederzufinden und zuzuordnen. Woher weiß ich dnen, was was ist...

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Ach, jetzt verstehe ich, glaube ich.

s(x,y) = ... ist laut Definition so definiert? Zuminest, wenn über dem Summenzeichen ein n stehen würde

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\( s(x,y) \) ist definiert als \( x^t A \overline{y} \)

Die Summenschreibweise brauchst Du gar nicht, macht alle zu kompliziert. Du kannst mit den Regeln der Matrix/Vektor Multiplikation und Addition argumentieren.

Also nochmal

$$ s(\lambda v, w) = (\lambda v)^t A \overline{w} = \lambda v^t A \overline{w} = \lambda s(v,w) $$ Das wars.

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Danke!!! Stimmt, ich muss ja gar nicht mit dem teil mit dem summenzeichen arbeiten...

Also alle 3 Zeilen die du geschrieben hast, lösen die Aufgabe, oder?

Aber die Regel mit Lambda die du genutzt bzw. gezeigt hast, die gehört doch gar nicht zu den dreien, die ich oben aufgeführt habe. Ist die notwendig, um die Aufgabe zu lösen?

Ich habe die Regeln B1, B2, H aus einem Buch.

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Du hast folgende Dinge die nachgewiesen werden müssen, zumindestens hast Du sie so hingeschrieben

1) s(v+v', w) = s(v,w) + (s',w)

2) s(λv,w) = λs(v,w)
3) s(v, w + w') = s(v,w) + s(v, w'),

4) s(v, λw) = λ⁻s(v,w)
5) s(w,v) = ( s(v,w) )‾

Davon habe ich Die 1), 2) und 5) vorgerechnet. 3) und 4) fehlen also noch.

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Stimmt, dankeschön. Ich mach mich jetzt mal ran! Vielen Dank.

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B2 s(v, w + w') = v^t A (w+w')^konjugiert = hier komme ich nicht weiter... weißt du da Rat?

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$$ s(v,w+w') = v^t A (\overline{w+w'}) = v^t A (\overline{w} + \overline{w'} ) = \\ v^t A \overline{w} + v^t A \overline {w'} = s(v,w) + s(v,w') $$

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Danke dir. Wie kommt man denn auf den vorletzten Schritt?

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Das ist Matrizen Vektor Multiplikation und Addition. Für eine Matrix \( A \) und Vektoren \( v \) und \( w \) gilt immer

$$ A (v+w) Av + Aw $$ Das ist das Distributivgesetz für Matrizen.

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Danke dir.

Ist die 4 so richtig? s(v, λw) = v^t * A * (λw)^konjugiert = v^t * A * (λ^konjugiert * w^konjugiert) = (jetzt kann man das Lambda einfach rausziehen? ) = λ^konjugiert * s(v,w)

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Ja das ist richtig.

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Danke dir vielmals! Dann habe ich die Aufgabe jetzt komplett!