Einer Funktion fehlen genau die QZ

Question

Aufgabe:

Hallo,

Könnte mir vielleicht jemand erklären warum das so ist?

Problem/Ansatz:

The function \( f(n)=\lfloor n+\sqrt{n}+1 / 2\rfloor\) misses exactly the squares.
suppose \( f(n)=\lfloor n+\sqrt{n}+1 / 2\rfloor\ \neq m \).
what can you say about m e N?
\( n+\sqrt{n}+\frac{1}{2}<m \)
and
\( m+1<n+1+\sqrt{n+1}+1 / 2 \)

Comments

Und mit QZ meinst Du das numerische Verfahren zur Lösung des verallgemeinerten Eigenwertproblems?

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QZ= Quadratzahlen

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nur eine Verdacht:

untersuche die Funktionswerte \(f(n)\) von \(n=k^2-k\) mit \(k \in \mathbb N \land k \gt 1\). Keine Ahnung, ob es zielführend ist ...

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f(k^2-k) $k=1..20

0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360, 399

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Siehe auch "OEIS: A000037 - Numbers that are not squares (or, the nonsquares)".

Answer 1

Hallo,

Die Idee besteht darin, zu zeigen, dass \(f(k^2-k) \lt k^2\) und \(f(k^2-k+1) \gt k^2\) ist.$$\begin{aligned} f(k^2-k) &= \left\lfloor k^2 - k + \sqrt{k^2 -k} + \frac12 \right\rfloor && k \in \mathbb N \land k \gt 1\\ &=k^2 - k + \sqrt{k^2 -k} + \frac12 - \epsilon && 0\lt\epsilon\lt 1\\ &\lt k^2 - k + \sqrt{k^2 -k + \frac 14} + \frac12- \epsilon \\ &= k^2 - k + \left(k-\frac12\right) + \frac12 - \epsilon\\ &= k^2 -\epsilon \\\end{aligned}$$Da \(\sqrt{k^2-k}\) keine rationale Zahl ist, ist \(\epsilon \ne 0\) und daraus folgt, dass $$f(k^2-k) \lt k^2$$... und nun ist noch zu zeigen, dass:$$\begin{aligned} f(k^2-k+1) &\stackrel{?}{\ge} k^2 +1 \\\left\lfloor k^2-k+1 + \sqrt{k^2-k+1} + \frac12\right\rfloor &\ge k^2 +1\\ k^2-k+1 + \sqrt{k^2-k+1} + \frac12 &\gt k^2+1 \\ \sqrt{k^2-k+1}  &\gt k- \frac12\\k^2-k+1 &\gt k^2 - k + \frac14\\1 &\gt \frac14\\&\text{q.e.d.} \end{aligned}$$Und da \(f(n)\) offensichtlich monoton steigend ist, ist damit bewiesen, dass es keine Zahl \(k\in \mathbb N\) gibt, für die gilt \(f(n)=k^2\).

Gruß Werner

Comments

Sehr schön.
Und damit der Fragesteller volle Punktzahl bekommt zeige ihm noch, dass umgekehrt alle Nicht-Quadratzahlen von der Funktion tatsächlich angenommen werden.