Wie lange dauert es bis er von 100°C auf 25°C bei gleicher Außentemperatur runtergekühlt ist?

Question

Aufgabe:

Ein auf \( 100^{\circ} \mathrm{C} \) erhitzter Körper kühlt bei einer Außentemperatur von \( 20^{\circ} \mathrm{C} \) in \( 10 \mathrm{~min} \) auf \( 60^{\circ} \mathrm{C} \) ab. Wie lange dauert es bis er von \( 100^{\circ} \mathrm{C} \) auf \( 25^{\circ} \mathrm{C} \) bei gleicher Außentemperatur runtergekühlt ist.
(Hinweis: Die Abkühlgeschwindigkeit, also die Ableitung der Temperatur nach der Zeit, ist proportional zur Differenz der Außen- und Körper-Temperatur.)

Problem/Ansatz:

Wie kann man das errechnen?

Answer 1

T‘(t) = -k [T(t) – Tu]

==>   T(t) = (To – Tu)*e^(-kt) + Tu

Hier ist (in Grad C)  Tu=20 und To=100 , also

         T(t)  = 80*e^(-kt) + 20

Und du hast T(10)=60 . Damit bestimmst du k

     60 = 80*e^(-10k) + 20

==>  0,5 =e^(-10k)

==>  ln(0,5) = -10k also    k=0,0693

==>     T(t)  = 80*e^(-0,0693t) + 20

Und du suchst t mit T(t)=25, also

          25  = 80*e^(-0,0693t) + 20

          5  = 80*e^(-0,0693t)

      1/16  = e^(-0,0693t)

  ln(1/16) = -0,0693 * t

       ==>  t = 40.

Es dauert 40 Min.