Question

Man berechne die Ableitungsfunktion von ƒ : ]0,∞[ → R, gegeben durch ƒ (x) = (1+ (1/x))^x

Comments

Benutze: a^x=exp(x ln(a)) und differenziere dies.

Answer 1

y =  (1+ (1/x))^x

==>  ln(y) = x * ln(1+(1/x))

==>   \( y= e^{x*ln(1+\frac{1}{x})}  \)

Ableitung mit Kettenregel gibt

\( y ' = e^{x*ln(1+\frac{1}{x})} \cdot \)  Ableitung von \( x*ln(1+\frac{1}{x}) \)

letzteres auch wieder mit Produkt und Kettenregel, etc.

gibt am Ende

\(  ( ln(1+\frac{1}{x}) -  \frac{1}{x+1}   )    \cdot ( 1 +\frac{1}{x}  )^x        \)