Geben sie die Menge der Polarkoordinaten an und berechnen sie das integral

Question

Aufgabe:

Sei \( P:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right\} \). Geben Sie die Menge \( P \) mit Polarkoordinaten an und berechnen Sie das Integral
\( \int \limits_{P} \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} P . \)

Problem/Ansatz:

Ich hab noch nicht so ganz verstanden wie man die Menge der Polarkoordinaten angibt, das integral zu berechnen ist nicht schwer, allerdings hab ich schon in der Vorlesung nicht verstanden wie man die Polarkoordinaten bestimmt

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns die Punktmenge \(P\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\big|x^2+y^2\le a^2\}\).

Diese sollen wir mit Polarkoordinaten darstellen:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;dF=r\,dr\,d\varphi$$

Wir müssen prüfen, wie die Intervalle für \(r\) und \(\varphi\) anzupassen sind:$$x^2+y^2\le a\implies(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2\le a^2\implies r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\le a^2\implies r^2\le a^2$$Die obere Grenze für das \(r\)-Intervall muss also von \(\infty\) auf \(a\) reduziert werden: \(r\in[0;a]\).

Das gesuchte Integral lautet damit:$$I=\int\limits_Pe^{x^2+y^2}\,dF=\int\limits_{r=0}^a\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}e^{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin\varphi}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^a\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}e^{r^2}r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^{a}e^{r^2}r\,dr=\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\cdot\left[\frac{e^{r^2}}{2}\right]_{r=0}^a=(2\pi-0)\cdot\frac12\left(e^{a^2}-e^0\right)=\pi(e^{a^2}-1)$$