Ich würde es ganz "naiv" machen:
\(a=\sqrt{2}+\sqrt{5}\Rightarrow a-\sqrt{2}=\sqrt{5}\)
Quadrieren liefert
\(a^2-2\sqrt{2}a+2=5\), also
\(-2\sqrt{2}a=3-a^2\).
Quadrieren liefert
\(8a^2=9-6a^2+a^4\).
\(a\) ist also Nullstelle des Polynoms \(X^4-14X^2+9\).
Eine weitere Überlegung bzgl. der sukzessiven quadratischen
Körpererweiterungen besagt, dass \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=4\) ist.
Damit ist \(X^4-14X^2+9\) das Minimalpolynom von \(a\).
