Grenzwertproblem für f(x,y): = x^2 + y^2

Question

Aufgabe:

Sei \( f(x, y):=x^{2}+y^{2} \). Berechnen Sie
(a) Berechnen Sie den Grenzwert
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(3+a h, 4+b h)-f(3,4)}{h} \)
für \( a=b=1 \).
(b) Für welche \( (a, b) \) wird der Grenzwert unter (a) maximal, minimal, 0 für \( a^{2}+b^{2}=1 \).
(c) Welchen Wert haben Sie unter (a) berechnet? Wofür stehen die Vektoren, die Sie unter (b) berechnet haben?

Problem/Ansatz:

Wie mache ich das?

Comments

Wo ist denn das Problem das a)? Also was verstehst du daran nicht? Dass ist ja nur einsetzten.

Answer 1

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(3+a h, 4+b h)-f(3,4)}{h} \) für \( a=b=1 \)

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(3+h, 4+h)-f(3,4)}{h} \)

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{(3+h)^2+(4+h)^2)-(9+16)}{h} \)

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{(9 +6h +h^2+16 +8h+h^2-(9+16)}{h} \)

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{6h +h^2+8h+h^2}{h} \)

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{14h +2h^2}{h} \)

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{ h(14 +2h}{h} \)

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} (14 +2h)\) = 14

Das ist die Richtungsableitung

am Punkt (3;4)  in Richtung (1,1).

Allgemein gibt es

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(3+a h, 4+b h)-f(3,4)}{h} \)

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} (6a+8b+(a^2+b^2)*h) = 6a+8b \)

Damit das z.B. maximal wird muss wohl wegen a^2 + b^2 = 1 für a=√(1-b^2)

einsetzt werden und das Maximum von g(b)= 6=√(1-b^2)+8b.

Mit g'(b)=0 etc. Ich bekomme b=0,8. Und dazu a=±0,6.

Vergleiche mal mit dem Gradienten.