Wie wirkt sich Basis B in Abbildung von R3 nach R2 aus?

Question

ich verstehe bei dem folgenden Beispiel nicht, wie die Basis konkret in die Rechnung einfließt. Kann es aus dem Skript nicht nachvollziehen.

Basen

B = (b₁, b₂, b₃) als geordnete Standard-Basis von V = ℝ³ mit

b₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \), b₂=\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \), b₃=\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

C = (c₁, c₂, c₃) als geordnete Standard-Basis von V = ℝ² mit

Lineare Abbildung

f: V → W mit

f(b₁) = \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \), f(b₂) = \( \begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix} \), f(b₃) = \( \begin{pmatrix} 7\\6 \end{pmatrix} \),

Bedingungen

f(b₁) = 1 · c₁ + 2 · c₂ = 1 · \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) + 2 · \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \)

f(b₂) = 3 · c₁ + 5 · c₂ = 3 · \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) + 5 · \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix} \)

f(b₃) = 7 · c₁ + 6 · c₂ = 7 · \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) + 6 · \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 7\\6 \end{pmatrix} \)

Zahlenschema

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} \)

Mein Problem:

In die Abbildung fließt immer einer der Basis-Vektoren ein. Aber keine der Vektorkomponenten von bspw. b₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) fließt in die Rechnung mit ein. Auf mich wirkt es im Moment daher so, als ob es die Basis-Vektoren gar nicht bedarf, um den rechten Teil der Bedingungs-Gleichungen zu erfüllen. Wie man auf die Matrix kommt, leuchtet mir hingegen ein.

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand das veranschaulichen bzw. näher bringen könnte. Sitze da jetzt einen Tag dran und finde einfach nicht den Zusammenhang.

In jedem Fall danke für eure investierte Zeit!

Seminom

Comments

Aber keine der Vektorkomponenten von bspw. b₁ fließt in die Rechnung mit ein

Die Abbildung f an sich existiert völlig unabhängig von irgendwelchen Basen und ohne Matrix-Darstellung, denn die Abbildung f bildet Vektoren auf Vektoren ab.

Bei Einführung von Basen bekommen die Vektoren eine Koordinaten-Darstellung und man kann die Abbildung durch eine Matrix A darstellen, bei der Koordinaten auf Koordinaten abgebildet werden.

Der Basisvektor b₁ fließt nun insofern ein, als das für die Abbildung eines beliebigen Vektors v dieser zunächst in seine Koordinaten-Darstellung "übersetzt" werden muss und diese Darstellung von der Wahl der Basis, also auch von b₁ abhängt. Eine andere Basis bewirkt andere Koordinaten von v und andere Einträge in der darstellenden Matrix A, obwohl sich der Vektor v und die Abbildung f selbst nicht ändern.

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Vielen Dank! Unter anderem hat es durch deinen Kommentar jetzt bei mir Klick gemacht. Merci!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du weißt, wie die Abbildung \(f\) auf drei Eingangsgrößen wirkt. Daher weißt du auch, wie die zugehörige Abbildungsmatrix \(A\) auf drei EIngangsgrößen wirkt.

$$A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\binom{1}{2}\quad;\quad A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\binom{3}{5}\quad;\quad A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\binom{7}{6}$$

Diese drei Gleichungen fassen wir zu einer Matrixgleichung zusammen:$$A\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 7\\2 & 5 & 6\end{pmatrix}$$Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix verändert \(A\) nicht, sodass:$$A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 7\\2 & 5 & 6\end{pmatrix}$$

Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren.

Comments

Danke, deine Antwort hat mich weitergebracht. :)

Answer 2

Es fließen die Basisvektoren aus R^2 ein, also c1 und c2 du willst in der Matrix diie bilder der Basisvektoren,

lul