Aufgabe:
Wir haben 3 Kandidaten die von 15 Wählern gewählt werden können. Kein Wähler darf sich enthalten. Wieviele Stimmausgänge gibt es für jeden der 3 Kandidaten?
Problem/Ansatz:
Ich habe mir mal alle Wähler als eine Folge von o‘s aufgemalt: ooooooooooooooo
Dann habe ich 2 Striche, die diese Folge von o‘s in 3 Teile teilen soll: oooIoooooooooIooo
Einen Ausgang wie den hier IoooooooooooooooI kann ja nicht vorkommen, da sich kein Wähler enthalten darf. Wir haben 15 o‘s und 2 Striche, also 17 mögliche Stellen: (17 \choose 2). Wir müssen aber noch die nicht auftretenden Ereignisse IoooooooooooooooI und IooooooooooooooIo und oIooooooooooooooI abziehen. Haben wir also insgesamt (17 \choose 2)-3 = 136-3 = 133 ?
Wieviele Stimmausgänge gibt es für jeden der 3 Kandidaten?
Ist das wirklich die Frage?
Ja tatsächlich, Zitat: “Wie viele mögliche Stimmausgänge gibt es ohne Enthaltungen? (nur die Anzahl der Stimmen pro Kandidatin sei relevant)“
Wie viele mögliche Stimmausgänge gibt es ohne Enthaltungen?
Das ist aber eine andere Frage.
Was genau ist der Unterschied…? Das verwirrt mich leider etwas.
Weil da steht ja noch „ nur die Anzahl der Stimmen pro Kandidatin sei relevant“
Es kommt nicht darauf an, wer von den 15 Wahlberechtigten A, B oder C gewählt hat.
Ich nenne die Kandidaten A, B und C.
Wenn A 15 Stimmen bekommt, ist es die einzige Möglichkeit (15;0;0).
A 14 → (14;0;1) und (14;1;0)
A 13 → (13;0;2) (13;1;1) (13;2;0)
usw.
A 0 → (0;0;15) ... (0;15;0)
Also 1+2+3+...+16=8•17=136 Möglichkeiten.
Mit anderen Überlegungen als beim Coach komme ich auf die gleiche Zahl.
:-)
Und weil da steht „nur die Anzahl der Stimmen pro Kandidatin sei relevant“ müssen wir nicht beachten, dass es neben dem Wahlausgang (14,1,0) noch die Wahlausgänge (14,0,1), (0,14,1)…usw. gibt oder?
Ne, glaube das ist quatsch..
Das sind 3 verschiedene Möglichkeiten, die ich alle mitgezählt habe.
Genau. Das ist Quatsch.
(14,1,0), (14,0,1), (0,14,1)
sind 3 total verschiedene Wahlausgänge.
Gewonnen hat bei
(14,1,0) A vor B vor C
(14,0,1) A vor C vor B
(0,14,1) B vor C vor A
Das sind also auch drei verschiedene Platzierungen.
Ich bin nur etwas verwirrt, weil MatheCoach auch genau 136 Möglichkeiten hat, wie Du, wobei es „Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“ ist.
Aber hier ist ja ganz klar die Reihenfolge relevant..
Schau oben in meinem Kommentar
https://www.mathelounge.de/953734/wie-viele-stimmausgange-gibt-es-fur-jeden-der-3-kandidaten?show=953745#c953745
(14,1,0) ist etwas anderes als (14,0,1)
aber dieses Symbolisiert auch nicht das tatsächliche Ziehen sondern nur den einzelnen Wahlausgang. Es gibt also 136 Klammern (a,b,c) die möglich sind unter der Bedingung a, b, c ∈ N und a, b, c ≥ 0 und a + b + c = 15.
Die Formel, die der Coach benutzt hat, ist ja etwas raffinierter und meiner Meinung nach etwas schwieriger zu verstehen.
Die herleitung der Formel hat mathematiquaa ja in der Frage schon gemacht und daher vermutlich auch verstanden. Sie hat nur 3 zuviel abgezogen.
(0, 15, 0), (0, 14, 1) sowie (1, 14, 0)
Dieses sind aber gültige Wahlausgänge und dürfen eben nicht abgezogen werden.
Mir fiel es vor allem schwer, aus der Sachlage zu verstehen, wonach genau gefragt wird. Jetzt hat es aber Klick gemacht und vielen Dank an euch für die nette Hilfe!!
Ziehen mit Zurücklegen und Ohne Beachtung der Reihenfolge
Anzahl der Optionen n = 3 Anzahl der Ziehungen k = 15
((n über k)) = (n + k - 1 über k) = (17 über 15) = 136 Stimmausgänge insgesamt. Warum ziehst du in deiner Rechnung 3 ab? Das ist verkehrt.
Das ist allerdings nicht gefragt. Gefragt wurde:
Wie viele Stimmausgänge gibt es für jeden der 3 Kandidaten?
Jeder der 3 Kandidaten kann von 0 bis 15 Stimmen alles erhalten und damit gibt es 16 Ausgängen für jeden einzelnen Kandidaten.
Zu „Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“: Aber es ist doch ein Unterschied ob wir {3,11,1} haben oder {1,3,11}, also wenn der erste Kandidat 1 Stimme erhält, der 2. Kandidat 11 und der 3. Kandidat 3 Stimmen erhält oder die Stimmen 1,11,3 anders verteilt werden auf die Kandidaten. Also ist die Reihenfolge doch wichtig oder?
Und zu den 16 Stimmen: Enthaltung ist nicht erlaubt, deswegen ist der Stimmausgang „0“ nicht möglich oder?
Wenn A alle 15 Stimmen bekommt, hat sich niemand enthalten. → 15;0;0
{3, 11, 1} ist etwas anderes als {1,3,11} aber das ist nicht wie man zieht
Du ziehst 15 mal den Kandidaten der gewählt wird
{3, 11, 1} ist also z.B.
(1 ,1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3)
Allerdings ist es hier egal an welchen Stellen genau die 1 auftritt solange sie genau 3 mal auftritt. Die Reihenfolge in welcher die 15 Werte also bei mir in der Klammer stehen ist völlig egal.
Ah okay. Würde man fragen, wie viele verschiedene Stimmausgangsmöglichkeiten es gibt, wäre diese Reihenfolge schon relevant oder?
Dann würde man doch die Anzahl aller 3-elementigen Partitionen der Zahl 15 bestimmen und für jede Partition noch die verschiedenen Reihenfolgen zählen: Beispielweise das für {1,3,11}: (1, 3, 11), (1, 11, 3), (3, 1, 11), (3, 11, 1), (11, 1, 3) und (11, 3, 1), was 6 sind.
Jein. Solange nur die Anzahl der Stimmen interessant ist, ist die Reihenfolge egal.
Interessiert man sich für die Anzahl der Wahlmöglichkeiten, die 15 Personen insgesamt haben, dann interessiert auch, wer wen gewählt hat und dann wäre 3^15 = 14348907 Ausgänge richtig. Aber normal interessiert man sich ja nicht für die Wahl des einzelnen. Meist ist die Wahl ja sogar geheim und damit ist nicht bekannt wer genau wen gewählt hat.
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