Umformung: 1/3 k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) -> 1/3(k+1)(k+2)(k+3)

Question

Aufgabe: Vollständige Induktion - Schwierigkeiten beim Umformen der Terme

…

Problem/Ansatz: Hallo,
ich habe ein Problem bei einer Aufgabe zur Vollständigen Induktion.
Die Ersten 2. Punkte (Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung), habe ich ohne weitere Probleme nachvollziehen können.

Nun muss ich bei dem Induktionsschrit zeigen, wie ich folgenden Term mit Klammern in den unteren Term umwandeln kann. Die Lösung ist vorhanden, allerdings komme ich gerade nicht drauf, wie genau die ganzen Umformungen zustande kommen.

Ich währe sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, welche Umformungen verwendet wurden.

Text erkannt:

\( \frac{1}{3} k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \)
\( (k+1)(k+2)\left[\frac{1}{3} k+1\right] \)
\( \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3) \quad \) as required.

Comments

Hallo,

im ersten Schritt wurde \( (k+1) \cdot (k+2) \) ausgeklammert.

Im zweiten Schritt wurde in der rechten Klammer \( \frac13 \) ausgeklammert.

---

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

leider verstehe ich nicht ganz, weshalb ich auf der linken Seite (K + 1) * (k + 2 ) im ersten Schritt ausklammern kann und wie das funktionieren soll. Außerdem ist mir leider auch nicht ganz klar, weshalb plötzlich der + Operator zwischen den beiden Termen fehlt und der rechte Term gänzlich verschwindet?

Im zweiten Schritt (k+1)*(k+2) * [(1/3)*k + 1] wurde also die 1/3 aus der eckigen Klammer rausgezogen. Und das Ausklammern verändert lediglich, dass die [... + 1] in der eckigen Klammer zur [ k + 3] wird, da ja (1/3) * [k + 3] = [1/3*k + 1] wären.

Weshalb bleibt beim Auskalmmern (k+1)*(k+2) unbeeinflusst, sodass ich im dritten Schritt die 1/3 vor den ganzen Term 1/3* (k+1)*(k+2) * [k + 1] schreiben darf? und nicht nur vor [k + 1] (Kommutativgesetz?)

Vielleicht wäre eine Schritt für Schritt Anleitung zur Verständnis und Nachvollziehbarkeit am besten? Anscheinend fehlen mir gerade alle Grundlagen. Ich vermute nämlich, dass das Problem eigentlich ganz einfach ist, wenn man es mal gut nachvollziehen konnte.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\phantom=\frac13\,k\,\red{(k+1)(k+2)}+\red{(k+1)(k+2)}=\frac13k\cdot\red{(k+1)(k+2)}+1\cdot\red{(k+1)(k+2)}$$$$=\left(\frac13\,k+1\right)\red{(k+1)(k+2)}=\frac13(k+3)\red{(k+1)(k+2)}=\frac13\red{(k+1)(k+2)}(k+3)$$

Comments

Ja super, jetzt habe ich es. Jetzt habe ich es verstanden.

Answer 2

Hallo

einfach (k+1)*(k+2) ausklammern entweder direkt oder erst (k+1) dann (k+2)

Gruß lul

Comments

Super, vielen Dank.

Wie bereits im obigen Kommentar beschrieben, ist mir die Lösung leider immer noch nicht ganz eindeutig.

Ich freue mich über jede Hilfe.