Kann ich hier die ln2 * x + ln8 * x rechnen oder ist das ein gravierender Fehler?

Question

es sind 8 hoch x -1 gemeint und nicht 8 hoch x, minus 1. Leider lässt es sich nicht anders formatieren.

Aufgabe:

2^x + 8^{x-1} = 32

Problem/Ansatz:

ln( 2^x * 8^x-1 ) = ln32

ln2^x + ln8^x-1 = ln32

ln2 * x + ln8 * (x-1) = ln32

ln2x + ln8x - ln8 = ln32

ln10x - ln8 = ln32  I + ln8

ln10x = ln32 + ln8  I : ln10

x = ln32 + ln8 : ln10

Kann ich hier die ln2 * x + ln8 * x rechnen oder ist das ein gravierender Fehler? Danke

Comments

2 hoch x + 8 hoch (x-1) = 32
Mit dem Editor heißt es
2^x + 8^(x-1)

---

Mit geschweiften Klammern geht's.

8^{x-1}

In "schön":

\(8^{x-1}\)

Answer 1

Deine erste Zeile der Umformung ln( 2x * 8x-1 ) = ln32 ist bereits verkehrt.

2^x + 8^(x - 1) = 32

2^x + 1/8·8^x = 32

2^x + 1/8·(2^3)^x = 32

2^x + 1/8·(2^x)^3 = 32

Subst. 2^x = z

z + 1/8·z^3 = 32 --> z = 5.930

Resubst.

2^x = 5.930 --> x = 2.568

Comments

Wieso 8 * 8^x, wie ergibt sich das? Lieben Dank

---

$$8^{x-1}=8^x*8^{-1}=8^x*1/8$$

---

Genau. Dort steht nicht

8 * 8^x sondern 1/8 * 8^x

Answer 2

Du hast Recht mit deinen Zweifeln, denn ln(a+b)≠ln(a*b), kurz, was u versuchst ist falsch.

Ich sehe keinen direkten Weg x zu bestimmen. man kann leicht sehen dass 2<x<3 ist und dann numerisch lösen.

Gruß lul

Comments

Ist das nicht ein Logarithmusgesetz?

---

Nein. Es gilt \( \ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b) \) für alle \(a,b\in \mathbb{R}_{>0}\).