Ableitung von f(x)= (x-3) / (4-x)^2

Question

Aufgabe:

\( f(x)=\frac{x-3}{(4-x)^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemanden zeigen was die Ableitung ist und ich darauf kommen kann?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zum Ableiten von Bruchtermen bietet sich die Quotientenregel an:$$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

Im konkreten Fall sieht das so aus:$$f'(x)=\left(\frac{\overbrace{x-3}^{=u}}{\underbrace{(4-x)^2}_{=v}}\right)'=\left(\frac{\overbrace{x-3}^{=u}}{\underbrace{16-8x+x^2}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{1}^{=u'}\cdot\overbrace{(4-x)^2}^{v}-\overbrace{(x-3)}^{=u}\cdot\overbrace{(2x-8)}^{=v'}}{\underbrace{(4-x)^4}_{=v^2}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{(4-x)^2-(x-3)\cdot2(x-4)}{(4-x)^4}=\frac{(4-x)\pink{(4-x)}+(2x-6)\pink{(4-x)}}{(4-x)^3\pink{(4-x)}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{4-x+2x-6}{(4-x)^3}=\frac{x-2}{(4-x)^3}$$

Comments

Vielen Dank!

Ich habe versucht mit dieser Weise der 2te und 3te Ableitungen zu herausfinden.

Das kommt bei mir bei der 2te Ableitung: f''(x)= \( \frac{2x-2}{(4-x)^{4}} \)

Das kommt bei mir bei der 3te Ableitung: f'''(x)= \( \frac{-10x+16}{(4-x)^{5}} \)

Ich habe bei Wolframalpha meine Ergebnisse verglichen und es kommt bei der 3te Ableitung was anderes raus.
Kannst Du auch bitte mir zeigen, wie dies abgeleitet wird?

---

Sehr schön, dass du das direkt anwendest... Finde ich gut!!!

Die zweite Ableitung ist korrekt. Wir können sie daher als Ausgangspunkt für die dritte Ableitung nehmen. Die Ableitung des Nenners ist etwas fummelig, weil du dafür die Kettenregel benötigst. Die innere Funktion habe ich grün, die äußere Funktion rot dargestellt:$$\left(\red(\green{4-x}\red)^{\red4}\right)'=\underbrace{\red{4\cdot}(\green{4-x})^{\red3}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\green{(-1)}}_{\text{innere Ableitung}}=-4(4-x)^3$$

Damit kannst du nun die Quotientenregel anwenden:

$$f'''(x)=\left(\frac{\overbrace{2x-2}^{=u}}{\underbrace{(4-x)^4}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{2}^{=u'}\cdot\overbrace{(4-x)^4}^{=v}-\overbrace{(2x-2)}^{=u}\cdot\overbrace{(-4(4-x)^3)}^{=v'}}{\underbrace{(4-x)^8}_{=v^2}}$$$$\phantom{f'''(x)}=\frac{2(4-x)\cdot\pink{(4-x)^3}+4(2x-2)\cdot\pink{(4-x)^3}}{(4-x)^5\cdot\pink{(4-x)^3}}$$$$\phantom{f'''(x)}=\frac{(8-2x)+(8x-8)}{(4-x)^5}=\frac{6x}{(4-x)^5}$$

Answer 2

Wende die Quotientenregel an.

Falls du die nicht kennst, dann forme um zu

        \( f(x)=(x-3) \cdot (4-x)^{-2} \)

und wende die Produktregel an.

Answer 3

Hallo,

z.B. mit der Produktregel

y= (x-3) * (4-x)^(-2) ->zuerst umformen

--->

u= x-3   ;  v= (4-x)^(-2)

u'=1      ;  v'= (-2) (4-x)^(-3) * (-1) = 2 * (4-x)^(-3)

------->allgemein:

y' =u' v+u *v'

y'= 1 * (4-x)^(-2)  + (x-3)  *2 * (4-x)^(-3)

y'= (4-x)^(-2)  + (x+3)  *2 * (4-x)^(-3) ->Hauptnenner bilden

y'= (( 4-x +2(x-3)) / (4-x)^3

y'=(x-2) / (4-x)^3

oder auch mittels Quotientenregel möglich

Answer 4

Ableitung über Quotientenregel

Ableitung des Zählers

z(x) = x - 3
z'(x) = 1

Ableitung des Nenners

n(x) = (4 - x)^2
n'(x) = -2·(4 - x)

Damit kannst du jetzt die Funktion ableiten

f(x) = (x - 3) / (4 - x)^2
f'(x) = (1·(4 - x)^2 + (x - 3)·2·(4 - x)) / (4 - x)^4
f'(x) = ((4 - x) + 2·(x - 3)) / (4 - x)^3
f'(x) = (x - 2) / (4 - x)^3

Comments

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Z.B. https://www.ableitungsrechner.net/