Bezeichne die von der Spitze ausgehenden Vektoren auf
den Schenkeln mit \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) .
Dann ist der Vektor auf der Schwerlinie (Seitenhalbierenden)
\( \frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} ) \) .
Für die beiden Winkel an der Spitze (sagen wir mal α und ß)
nach Def. des Skalarprodukts :
\( \frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} ) \cdot \vec{u} = |\frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} )| \cdot |\vec{u} | \cdot cos(α) \)
und
\( \frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} ) \cdot \vec{v} = |\frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} )| \cdot |\vec{v} | \cdot cos(ß) \)
Wenn man links die Klammern auflöst
\( \frac{1}{2} \vec{u} \cdot \vec{u} +\frac{1}{2} \vec{v} \cdot \vec{u} = |\frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} )| \cdot |\vec{u} | \cdot cos(α) \)
und
\( \frac{1}{2} \vec{u} \cdot \vec{v} +\frac{1}{2} \vec{v} \cdot \vec{v} = |\frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} )| \cdot |\vec{v} | \cdot cos(ß) \)
Wegen der Gleichschenkligkeit gilt \( \frac{1}{2} \vec{u} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2} \vec{v} \cdot \vec{v}\)
Die linken Seiten sind also gleich, dann auch die rechten:
\( |\frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} )| \cdot |\vec{u} | \cdot cos(α) = |\frac{1}{2} (\vec{u} + \vec{v} )| \cdot |\vec{v} | \cdot cos(ß) \)
Auch hier \( |\vec{u} | = |\vec{v} | \), also auch
cos(α) = cos(ß)
Da α und ß beide zwischen 0 und 90° liegen, sind sie also gleich.
q.e.d.
