Wie kommt man also auf (x+2)(x+1), ohne die Nullstellen zu wissen?

Question

Linearfaktorzerlegung für Nullstellen

In einer Aufgabe wurde die Funktion x+x^2-2 in Linearfaktoren zerlegt (zu (x+2)(x-1)), um die Nullstellen zu erhalten.

Nun kenne ich es aus der Schule so, dass man für Linearfaktorzerlegung die Nullstellen bereits wissen muss. Wie kommt man also auf (x+2)(x+1), ohne die Nullstellen zu wissen?

Answer 1

$$x+x^2-2 = \\ (x-1)+(x^2-1) = \\ (x-1)+(x-1)\cdot (x+1) = \\ (x-1)\cdot (1+(x+1)) =\\ (x-1)\cdot (x+2) = \\ (x+2)\cdot (x-1).$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort, aber wäre es bei so einem Lösungsweg nicht einfacher, z.B. die pq-Formel anzuwenden?

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...wäre es bei so einem Lösungsweg nicht einfacher, z.B. die pq-Formel anzuwenden?

Das ist Ansichtssache, es kommt ja unter anderem auch darauf an, was einem leichter fällt. Nimmt man die pq-Formel, dann hat man die Nullstellen expizit berechnet, weiss sie dann also. Die Frage aber lautete:

Wie kommt man also auf (x+2)(x+1), ohne die Nullstellen zu wissen?

Answer 2

Aloha :)

Wilkommen in der Mathelounge... \o/

Um die Frage zu beantworten, betrachte folgende Rechnung:$$(x+\red a)\cdot(x+\green b)=x^2+\red a\cdot x+\green b\cdot x+\red a\cdot\green b=x^2+(\red a+\green b)\cdot x+\red a\cdot\green b$$

Nun bringe die quadratische Funktion auf diese Form:$$x^2+x-2=x^2+\underbrace{1}_{(\red a+\green b)}\cdot x+\underbrace{(-2)}_{\red a\cdot\green b}$$

Suche also 2 Zahlen, deren Summe \(1\) und deren Produkt \((-2)\) ist. Das leisten die Zahlen \(\red {a=2}\) und \(\green{b=-1}\). Daher ist$$x^2+x-2=(x\red{+2})\cdot(x\green{-1})$$

Wenn du solche Zahlen nicht schnell findest, musst du doch die Nullstellen bestimmen, um das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen. Dabei hilft dann z.B die pq-Formel.

Answer 3

Hallo,

mit dem Satz on Vieta findest du ganzzahlige Nullstellen ganz leicht.

Bei deinem Beispiel betrachtest du das absolute Glied -2 und schreibst es als Produkt.

-2=-2•1=2•(-1)

Nun addierst du die beiden Zahlen.

-2+1=-1=-p (*)

2+(-1)=+1=+p

Wenn die Summe -p beträgt, hast du die Nullstellen und damit die Linearfaktoren.

(x-(-2))•(x-1)

:-)