Wie hoch fliegt das Flugzeug?

Question

Aufgabe:

Berechnung der Höhe

Problem/Ansatz:

Ein Flugzeug wird von zwei Beobachtungsstationen B_1 und B_2, welche 32,44 km voneinander entfernt sind, angepeilt. Von B_1 aus wird der Winkel 20,4°, von B_2 der Winkel 40,7° (jeweils vom Boden aus) gemessen, und zwar genau zu dem Zeitpunkt, als sich das Flugzeug genau über der Verbindungslinie der beiden Beobachtungsstationen befindet. Wie hoch fliegt das Flugzeug?

Answer 1

Aloha :)

Gesucht ist die Höhe eines Dreiecks mit der Grundseite \(c=32,44\,\mathrm{km}\) und den Schenkelwinkeln \(\alpha=20,4^\circ\) und \(\beta=40,7^\circ\). Da die Winkelsumme im Dreieck \(180^\circ\) beträgt, beträge der dritte Winkel \(\gamma=118,9^\circ\).

Mit dem Sinussatz rechnen wir die Länge des linken Schenkels \(b\) aus:$$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\implies b=c\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=32,44\,\mathrm{km}\cdot\frac{\sin(40,7^\circ)}{\sin(118,9^\circ)}\approx24,1633\,\mathrm{km}$$

Den Schenkel \(b\) projezieren wir auf die Mittelsenkrechte auf \(c\) und erhalten die gesuchte Höhe:$$h=b\cdot\sin\alpha=24,1633\,\mathrm{km}\cdot\sin(20,4^\circ)\approx8,42\,\mathrm{km}$$

Das Flugzeug fliegtalso etwa \(8,42\,\mathrm{km}\) hoch.

Answer 2

Wenn du es nicht berechnen kannst dann hättest du vielleicht vom Lehrer Fleißpunkte bekommen, wenn du eine Maßstabsgetreue Skizze angefertigt hättest und damit die Höhe grafisch bestimmt hättest.

Evtl. hättest du gesehen das es sich bei der Figur um ein Dreieck handelt bei dem man wenn man 2 Winkel kennt den Dritten auch über die Winkelinnensumme bestimmen kann.

Jetzt könnte man auf die Idee kommen weil das Dreieck dummerweise nicht rechtwinklig ist den Sinussatz anzuwenden um eine weitere Seite zu bestimmen. Und vermutlich kann man dann auch einfach die Höhe über den ganz normalen Sinus bestimmen.