Punkt H (x |0) x≠0 , ist ein Hochp. in f mit f’’(x) < 0 . Weise nach, dass H ein Tiefp. in g(x) = - x ^ 2 * f(x) ist.

Question

Aufgabe:

2 Der Punkt H (x  |0) x≠0, ist ein Hochpunkt des Graphen einer Funktion f mit f’’(x) < 0 . Weisen Sie nach, dass H ein Tiefpunkt des Graphen der Funktion g mit g(x) = - x ^ 2 * f(x) ist.

Problem/Ansatz:

Bedingungen für ein Tiefpunkt:

1. g’(x)=0

2.g’(x)>0

1. g(x)=-x^2*f(x).  -Produktregel

g’(x)= -2x*f(x)-x^2*f‘(x)

g’(x)=0

-2x*f(x)-x^2*f‘(x)=0

Answer 1

-2x*f(x)-x²*f‘(x)=0

wegen Hochpunkt ist f'(x)=0

und wegen H( H (x |0) ist auch f(x)=0

also gilt   -2x*f(x)-x²*f‘(x)=0.

Und es ist g ' ' (x) = -2*f(x) - 2x*f'(x) - (2x*f'x) + x^2 * f ' ' (x) )

wegen f'(x)=0 und f(x)=0  also g ' ' (x) =  -x^2 * f ' ' (x)

Und wegen x≠0 ist -x^2 < 0  und  gegeben war f ' ' (x) < 0

also das Produkt  g ' ' (x) > 0 .

Somit ist erfüllt:  g’(x)=0 und  g’'(x)>0. Das ist eine

hinreichende Bed. für einen Tiefpu. bei x.

Bei dir fehlte ein "Strich"

Bedingungen für ein Tiefpunkt:

1. g’(x)=0

2.g’(x)>0