Hallo,
Wie berechne ich den Winkel für den Stab 2?
ganz im Ernst: am besten gar nicht! Aber dazu später mehr (s.u.)
eine saubere Skizze ist der Anfang von allem:
https://www.desmos.com/calculator/97ysicpxsb
dann solltest Du ein Koordinatensystem hinein legen. Ich habe das oben so gewählt, dass die Lager die Y-Koordinate 0 bekommen und das Fachwerk symmetrisch zur Y-Achse steht. Aber andere Lagen sind genauso gut.
Danach sollten die Koordinaten der Knoten in den Lagern und der Spitze klar sein (s. Bild). Wegen der Längengleichheit muss der Knoten zwischen Stab 1 und 4 genau in der Mitte liegen zwischen Lager und Spitze ist - also ebenso bekannt \((-2,5|\,2)\).
Nun bestimme in dem gewählten Koordinatensstem die Gerade (lila gestrichelt) durch Stab 3. Der Normalvektor ist gegeben mit der Richtung von 1 und 4 \(\to(5|\,4)\). Und den Mittelpunkt hatten wir schon (s.o.) -- also$$\begin{pmatrix} 5\\ 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2,5\\ 2\end{pmatrix} = -\frac{9}{2}$$Und diese Gerade schneidet die Gerade \(y=1\) bei der X-Koordinate:$$5x+ 4\cdot 1 = -\frac{9}{2} \implies x= -1,7$$D.h. die unteren Knoten der Stäbe 3 und 9 liegen hier bei den Koordinaten \((\pm1,7|\,1)\).
Nun zu den Winkeln: bei der Fachwerksrechnung brauchst Du von den Winkeln doch die trigonometrsichen Funktionen. Und die sind doch bereits über die Verhältnisse der Längen gegeben. Und genau damit solltest Du auch rechnen. Wenn also bei Stab 2 $$\tan(\varphi) = \frac{1}{5-1,7} = \frac{10}{33}$$so brauchst Du \(\varphi\) nicht berechnen.
Besser: $$\cos(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\varphi)}} = \frac{33}{\sqrt{1189}}\quad\quad -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$$usw. .... und damit weiter rechnen; und ohne Einbußen durch Rundungsfehler!
Gruß Werner
