Beweis durch vollständige Induktion (stecke fest)

Question

Aufgabe:

Beweis durch vollständige Induktion

Problem/Ansatz:

Servus,

ich schaffte es nicht diese Aussagen mit vollständiger Induktion zu beweisen. Ich schaffe es so weit zu kommen die Induktionsvoraussetzung mithilfe der Summenformel zu benutzen aber weiter komme ich nicht. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. Der Definitionsbereich liegt für beide Aufgaben in den natürlichen Zahlen. bei der zweiten muss n größer gleich null sein.

1) \( \sum \limits_{j=0}^{2 n} 10 \cdot(-9)^{j}=1+3^{4 n+2} \)  2) \( \sum \limits_{j=2}^{n} 7 \cdot\left(-\frac{2}{5}\right)^{j}=\frac{4}{5}+(-1)^{n} \cdot 2^{n+1} \cdot 5^{-n} \)

Answer 1

Hallo

 1, ziehe die 10 bzw 7 vor die Summen, benutze dann die Formel für die geometrisch Reihe  oder musst du das wirklich mit vollständiger Induktion machen?

bei der Induktionsvors musst du doch  bei a nur einmal (-9)²ⁿ⁺¹ und +9²ⁿ⁺² addieren ? und schon hast den es für 2(n+1)entsprechend bei der zweiten Summe?

woran scheiterst du?

Gruß lul

Comments

Ich muss es mit Induktion beweisen. Ich komme nichg auf die Voraussetzung . Ich habe für die 1) dann stehen 1+3^(4k+2) -10*3^(4k+2)-10*3^(4k+4). Weiß nicht wie ich von da auf 1+3^4(k+1)+2 kommen soll

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Könnte es sein, dass das zweite Minus ein Plus sein sollte?

Answer 2

Induktionsanfang:             \(\sum_{j=0}^{2}10 \cdot (-9)^j\)

Induktionsvoraussetzung: \(\sum_{j=0}^{2n}10 \cdot (-9)^j=1+3^{4n+2} \)

Induktionsschluss:            \(\sum_{j=0}^{2n+2}10 \cdot (-9)^j=\)

\(=\sum_{j=0}^{2n}10 \cdot (-9)^j+10 \cdot (-9)^{2n+1}+10 \cdot (-9)^{2n+2}\)

\(=1+3^{4n+2}+10 \cdot (-9)^{2n+1}+10 \cdot (-9)^{2n+2}\)

\(=1+9 \cdot 9^{2n}-10 \cdot 9^{2n+1}+10 \cdot 9^{2n+2}\)

\(=1+9^{2n}(9-10 \cdot 9+10 \cdot 9^2)\)

\(=1+9^{2n}\cdot 9^3\)

\(=1+3^{4n+6}\)  q.e.d.