ableiten von polynomfuntionen

Question

geg. ist eine funktion f(x)=x²-6x+6

an welchen stellen ist f(x)=1,   -2,   0?

wie groß ist die steigung an diesen stellen?

an welchen stellen ist f'(x)=1, -2, 0?

Answer 1

Aloha :)

Zuerst würde ich die Funktionsgleichung vereinfachen:$$f(x)=x^2-6x\pink{+6}=(x^2-6x+\pink{9})\pink{-3}=(x-3)^2-3$$und nun die drei Zielwerte einsetzen:$$1\stackrel!=f(x)=(x-3)^2-3\implies(x-3)^2=4\implies(x-3)=\pm2\implies x=\left\{\begin{array}{r}1\\5\end{array}\right.$$$$-2\stackrel!=f(x)=(x-3)^2-3\implies(x-3)^2=1\implies(x-3)=\pm1\implies x=\left\{\begin{array}{r}2\\4\end{array}\right.$$$$0\stackrel!=f(x)=(x-3)^2-3\implies(x-3)^2=3\implies(x-3)=\pm\sqrt3\implies x=\left\{\begin{array}{r}3-\sqrt3\\3+\sqrt3\end{array}\right.$$

Über die Steigung der Funktion $f(x)$ gibt deren Ableitung Auskunft:$$f'(x)=2x-6$$Da sollst du nun die gerade berechneten $x$-Werte einsetzen:$$f'(1)=-4\quad;\quad f'(5)=4$$$$f'(2)=-2\quad;\quad f'(4)=2$$$$f'(3-\sqrt3)=-2\sqrt3\quad;\quad f'(3+\sqrt3)=2\sqrt3$$Fällt dir bei den Vorzeichen was auf?

Schließlich ist noch gefragt, an welchen Stellen die Ableitung bestimmte Werte annimmt:$$1\stackrel!=f'(x)=2x-6\implies2x=7\implies x=3,5$$$$-2\stackrel!=f'(x)=2x-6\implies2x=4\implies x=2$$$$0\stackrel!=f'(x)=2x-6\implies 2x=6\implies x=3$$

Answer 2

f(x) = 1

x²-6x+6 = 1

x²+6x+5 = 0

(x+5)(x+1) = 0

x= -5 v x =-1

analog für f(x)= -2 bzw. f(x) =0

f '(x) = 2x-6

f '(5) = ...

usw.

f'(x) = 1

2x-6 = 1

x=7/2