Bestimmen Sie den Grenzwert .

Question

Entscheiden Sie für die durch

\( a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}-\frac{n^{3}}{n-1}, \quad b_{n}=\frac{2}{n+1}\left(2 n-\frac{n^{3}+n+3}{n^{2}}\right) \),
\( c_{n}=\sqrt{n^{2}+3 n}-n, \quad d_{n}=\sqrt{n^{3}+1}-\sqrt{n^{3}-1} \),

gegebenen Folgen \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right),\left(c_{n}\right) \) und \( \left(d_{n}\right) \) jeweils, ob sie konvergent, divergent, bestimmt divergent gegen \( -\infty \), bestimmt divergent gegen \( \infty \) oder unbestimmt divergent sind und begründen Sie Ihre Antwort.
Bestimmen Sie für die konvergenten Folgen auch den Grenzwert.

Answer 1

Aloha :)

Hier würde ich empfehlen, die Terme für die Folgen geschickt umzuformen:$$a_n=\frac{n^3}{\red{n+1}}-\frac{n^3}{\green{n-1}}=\frac{n^3\green{(n-1)}-n^3\red{(n+1)}}{\red{(n+1)}\green{(n-1)}}=\frac{(n^4-n^3)-(n^4+n^3)}{n^2-1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{-2n^3}{n^2-1}=-\frac{\pink{\frac{1}{n^2}}\cdot2n^3}{\pink{\frac{1}{n^2}}\cdot(n^2-1)}=-\frac{2n}{1-\frac{1}{n^2}}\to-\infty$$

$$b_n=\frac{2}{n+1}\left(2n-\frac{n^3+n+3}{n^2}\right)=\frac{2}{n+1}\left(\frac{2n\cdot n^2}{n^2}-\frac{n^3+n+3}{n^2}\right)$$$$\phantom{b_n}=\frac{2}{n+1}\left(\frac{2n^3-(n^3+n+3)}{n^2}\right)=\frac{2}{n+1}\left(\frac{n^3-n-3}{n^2}\right)=2\left(\frac{n^3-n-3}{n^2(n+1)}\right)$$$$\phantom{b_n}=2\cdot\frac{n^3-n-3}{n^3+n^2}=2\cdot\frac{\pink{\frac{1}{n^3}}\cdot\left(n^3-n-3\right)}{\pink{\frac{1}{n^3}}\cdot\left(n^3+n^2\right)}=2\cdot\frac{1-\frac{1}{n^2}-\frac{3}{n^3}}{1+\frac{1}{n}}\to2\cdot\frac{1-0-0}{1+0}=2$$

$$c_n=\green{\sqrt{n^2+3n}-n}=\frac{(\green{\overbrace{\sqrt{n^2+3n}}^{a}-\overbrace{n}^{b}})(\red{\overbrace{\sqrt{n^2+3n}}^{a}+\overbrace{n}^{b}})}{\red{\sqrt{n^2+3n}+n}}=\frac{\overbrace{n^2+3n}^{a^2}-\overbrace{n^2}^{b^2}}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$\phantom{c_n}=\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{\pink{\frac1n}\cdot3n}{\pink{\frac1n}\cdot(\sqrt{n^2+3n}+n)}=\frac{\pink{\frac1n}\cdot3n}{\sqrt{\pink{\frac{1}{n^2}}(n^2+3n)}+\pink{\frac1n}\cdot n}$$$$\phantom{c_n}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac3n}+1}\to\frac{3}{\sqrt{1+0}+1}=\frac32$$

$$d_n=\green{\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1}}=\frac{(\green{\overbrace{\sqrt{n^3+1}}^a-\overbrace{\sqrt{n^3-1}}^b})(\red{\overbrace{\sqrt{n^3+1}}^a+\overbrace{\sqrt{n^3-1}}^b})}{\red{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}}$$$$\phantom{d_n}=\frac{\overbrace{(n^3+1)}^{a^2}-\overbrace{(n^3-1)}^{b^2}}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}=\frac{2}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}\to0$$

Answer 2

Hast du nicht mal die Idee gehabt, die Differenzen in a_n und b_n erst mal durch Gleichnamigmachen vernünftig auszurechnen?

Answer 3

Hallo

bei a und b auf den Hauptnenner bringen dan durch n^2 bzw n^3 kürzen

c und d  mit der Summe der Terme erweitern, (3. Binomische Formel) dann ist der Rest hoffentlich klar

Gruß lul