Zeige unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes, dass

Question

Aufgabe:

Es seien \( k, m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m<n \) und \( 1 \leq k \leq n \). Zeige, dass \( { }^{1} \)

\( \frac{1}{m^{k}}\left(\begin{array}{l} m \\ k \end{array}\right) \leq \frac{1}{n^{k}}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \leq \frac{1}{k !} \leq \frac{1}{2^{k-1}} . \)

Zeige unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes, dass

\( \left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} . \)

Beweise auferdem, dass

\( 2 \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq 3 \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Mit dem Beweis von \(\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) beweist man wegen m<n, dass die Folge \( \left(1+\frac{1}{m}\right)^{m} \) monoton wächst. Ihr erstes Folgenglied ist 2, deshalb gilt \( 2 \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\).

Ebenso lässt sich zeigen, dass \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}  \) monoton fällt, dabei unter 3 sinkt und größer als \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \) ist. Daraus folgt die Abschung nach oben

\( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq 3 \)

Comments

Zur Info: Die Abschätzung nach oben durch 3 folgt aus den Infos der Aufgabe. Es braucht keine weitere Folge untersucht werden.