Mathematik, Äquivalenzklassen, Relationen?

Question

Aufgabe:

Mathematik, Äquivalenzklassen, Relationen?

Wie viele verschiedene Äquivalenzklassen gibt es? Gibt es eine möglichst mathematische korrekte Anwort darauf?

Problem/Ansatz:

A ∼ B :⇐⇒ ∃ f : A −→ B bijektiv das wäre eine Relation, die ich für diese Frage betrachten möchte. Aber als Menge die Potenzmengen der natürlichen Zahlen. Ich kann damit aber nur wenig anfangen...
Danke im Voraus.

Answer 1

A ∼ B :⇐⇒ ∃ f : A −→ B bijektiv mit A,B ∈ P(ℕ).

Wenn es eine bijektive Abbildung gibt zwischen endlichen Mengen A und B, dann haben

A und B gleich viele Elemente. Außerdem gibt es die von ∅ nach ∅

und zwischen je zwei unendlichen Teilmengen von ℕ (z.B. alle

durch 2 teilbaren und alle durch 3 teilbaren als eine Teilmenge betrachtet.).

Somit gibt es die Klasse, in der ∅ ist, quasi die 0-elementigen

dann die Klasse der 1-elemntigen Teilmengen von ℕ,

dann die Klasse der 2-elemntigen Teilmengen von ℕ,

dann die Klasse der 3-elemntigen Teilmengen von ℕ,

......

dann die Klasse der unendlichen Teilmengen von ℕ.

Also unendlich viele verschiedene Klassen.