Lösen linearer LGS über Körper GF(2)

Question

Aufgabe:

Über dem Körper GF(2) ist für verschiedene LGS Ax=b die reduzierte Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix gegeben. Entscheiden Sie jeweils, wie viele Elemente die Lösungsmenge des LGS besitzt

a) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \)

b) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \)

c) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} \)

d) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

ich hab mir immer die letzte Zeile angesehen und dann eine Fallunterscheidung durchgeführt und komme somit auf

a) 4 (1100, 0110, 1001, 0011) da hier aber eine 0-Zeile vorliegt, hätte ich eigentlich mehr Lösungen erwartet. über R hätten wir ja z.B. unendlich viele

b) 2 (0101, 0111)

c) keine, da Widerspruch in Zeile 3

d) 2 (0001, 0110)

passt das oder hab ich irgendetwas übersehen/nicht bedacht?

Answer 1

Die Lösungsanzahlen, die du herausbekommen hast, sind richtig.
Wenn ein inhomogenes LGS (über einem endlichen Körper)
eine Lösung besitzt, dann besitzt das zugehörige homogene LGS
genauso viele Lösungen wie das inhomogene System.
Ein n-dimensionaler Vektorraum über GF(2) enthält \(2^n\)
Vektoren.

c) besitzt keine Lösung,
Der Rang der nicht erweiterten Matrix ist

in a: 2, also dim(Lösungsraum)=4-2=2, d.h. \(2^2\)=4 Lösungen,
in b: 3, also dim(Lösungsraum=4-3=1, d.h. \(2^1\)=2 Lösungen
in d: 3, also dim(Lösungsraum=4-3=1, d.h. ebenfalls 2 Lösungen.

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vielen lieben Dank