Polynom n-ten Grades mit reellen Koeffizienten

Question

Aufgabe:

Sei \( P(z):=\sum \limits_{j=0}^{n} a_{j} z^{j} \) mit \( z \in \mathbb{C}, a_{j} \in \mathbb{R} \) für \( j \in\{0, \ldots, n\} \) ein Polynom n-ten Grades mit reellen Koeffizienten. Zeige:

\( P(z)=0 \Leftrightarrow P(\bar{z})=0 . \)

Problem/Ansatz:

Leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter, könnte mir jemand helfen? Danke im Voraus

Answer 1

$$0=\overline{0}=\overline{P(z)}=\overline{\sum_{j=0}^na_jz^j}=\sum_{j=0}^n \overline {a_jz^j}=\\=\sum_{j=0}^n\overline{a_j} \, \overline{z}^j=\sum_{j=0}^n a_j \overline{z}^j=P(\overline{z})$$