Zeigen Sie, dass a, b elemnt von R

Question

Aufgabe:

\( \Delta \cdots \quad \cdots \quad \). Seien \( a, b \in \mathbb{R} \). Beweisen Sie:
(a) Ist \( a>0 \), so ist \( a^{-1}>0 \).
(b) Ist \( 0<a<b \), so ist \( a^{2}<b^{2} \). Sind \( a, b>0 \) mit \( a^{2}<b^{2} \), so ist \( a<b \).

2. Es sei \( 0<a \leq b \). Zeigen Sie, dass
\( a^{2} \leq\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)^{2} \leq a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \leq b^{2} . \)

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

Answer 1

Ist \( a>0 \), dann multipliziere die Ungleichung mit \( a^{-1} \)

Es entsteht links eine 1 und rechts eine 0, also bleibt es bei 1>0.

Wäre  \( a^{-1}<0 \), dann hätte sich das Zeichen umgedreht und

\( a^{-1}=0 \) kann ja auch nicht sein.

Comments

Können Sie bitte (b) und 2 machen habe ich auch nicht verstanden ;)

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Ist \( 0<a<b \), so ist \( a^{2}<b^{2} \).

Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) und \( 0<a<b \)

==>    \( 0<b-a \)  und wegen   \( 0<a<b \) auch \( 0<b+a \)

Produkt zweier positiver ist positiv .

==>   \( 0<(b-a) \cdot (b+a)\)

==>   \( 0<b^2 -a^2   \)   ==>  \(  b^2 > a^2  \) . q.e.d.

Versuch mal den anderen !