Aloha :)
Das folgende Standard-Integral kannst du als bekannt voraussetzen:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{const}$$
Diese Form des Integranden ist unser Ziel. Also bauen wir unseren Integranden um:$$I=\int\frac{2}{x^2+4}\,dx=\int\frac{2}{4\left(1+\frac{x^2}{4}\right)}=\frac12\int\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,dx$$Wir subsituieren: \(u\coloneqq\frac x2\;;\;\frac{du}{dx}=\frac12\) bzw. \(dx=2du\) und finden:$$I=\frac12\int\frac{1}{1+u^2}\,2du=\int\frac{1}{1+u^2}\,du=\arctan(u)+\text{const}=\arctan\left(\frac x2\right)+\text{const}$$