Aufgabe:
Summenwert der Binominalreihe von \( f(x)=\sqrt{1-x^{2}} \) für rationale Zahlen bestimmen.
Problem/Ansatz:
Ich möchte gern wissen, ob man den Summenwert der Binominalreihe von \( f(x)=\sqrt{1-x^{2}} \) direkt als rationale Zahl, also als Bruch, berechnen kann.
Also, wenn ich beispielsweise in die Binominalreihe \( x=\frac{3}{5} \) einsetze,sollte als Ergebnis \( f(x)=\frac{4}{5} \) herauskommen.
Ich habe die Binomimalreihe wie folgt erstellt:
\( f(x)=\sqrt{1-x^{2}}=(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dbinom{\frac{1}{2}}{k}(-1)^{k}(x^{2k}) \)
ergibt die folgenden ersten Summanden
\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}\dbinom{\frac{1}{2}}{k}(-1)^{k}(x^{2k})=1-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{8}x^{4}-\frac{1}{16}x^{6}-\frac{5}{128}x^{8}-\frac{7}{256}x^{10}-.... \)
Wie komme ich aber damit auf das gewünschte Ergebnis \( f(\frac{3}{5})=\dfrac{4}{5} \) ??
Kann man eventuell Terme vereinfachen durch Ausklammern und Kürzen beim Binominalkoeffizienten? Oder lässt sich in geeigneter Weise aus der Summe ein Grenzwert für ein festen Wert x berechnen? Gibt es dafür bekannte Methoden?
"Wolfram Alpha" berechnet wahlweise:
oder für \( x=\frac{3}{5} \)
oder wenn ich für \( x=\frac{p}{q} \) eine rationale Zahl einsetze
Wie machen die das bei "Wolfram Alpha" ?
Haben die einen bestimmten Algorithmus oder schauen die nur in eine Datenbank nach bekannten Funktionen?
Ich fand DIESEN Artikel sehr interessant und wollte mal probieren, ob man die Berechnungen verkürzen kann:
https://www.mathelounge.de/406129/nimmt-konvergente-unendlich-tatsachlich-nahert-beliebig