Untersuchen Sie, ob ein Monoid, eine Gruppe oder sogar eine abelsche Gruppe vorliegt

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Operationen ο : ℤ × ℤ → Z legt eine Halbgruppe auf ℤ fest? Beweisen oder
widerlegen Sie.

Untersuchen Sie im Falle, dass die Halbgruppeneigenschaft gegeben ist, ob auch ein
Monoid, eine Gruppe oder sogar eine abelsche Gruppe vorliegt.

a ο b =_df a + b − 1

Wie löse ich diese Aufgabe am besten? Ich habe leider keine Ideen..

Answer 1

Axiome einer kommutativen Gruppe nachweisen:

1. Begründe warum $(a\circ b) \circ c = a\circ (b \circ c)$ ist.
2. Begründe warum $a\circ 1 = a$ ist.
   
3. Begründe warum $a\circ (-a+2) = 1$ ist.
4. Begründe warum $a\circ b = b\circ a$ ist.