Berechnen Sie den Wert des folgenden uneigentlichen Integrals, falls es konvergiert

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Wert des folgenden uneigentlichen Integrals, falls es konvergiert:

\(\displaystyle I=\int \limits_{-4}^{0} \frac{1}{\sqrt{-x}} \mathrm{~d} x \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen? Ich danke im Voraus!

Answer 1

\( \int \frac{1}{\sqrt{-x}} \cdot d x \)
Substitution:
\( \begin{array}{l} \sqrt{-x}=\left.u\right|^{2} \\ -x=u^{2} \rightarrow \rightarrow x=-u^{2} \rightarrow \rightarrow d x=-2 u \cdot d u \\ \int \frac{1}{u} \cdot(-2 u) \cdot d u=-\int 2 \cdot d u=-2 u \\ \int \limits_{-4}^{0} \frac{1}{\sqrt{-x}} \cdot d x=[-2 \cdot \sqrt{-x}]_{-4}^{0}=[0]-[-2 \cdot \sqrt{-(-4)}]=4 \end{array} \)

Answer 2

\(\displaystyle I=\int \limits_{-4}^{0} \frac{1}{\sqrt{-x}} \mathrm{~d} x \) kann durch den gleichwertigen Term

\(\displaystyle I=\int \limits_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \) ersetzt werden.

Eine weitere Substitution ist nicht erforderlich, da von \( \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-0,5} \) die Stammfunktion direkt gebildet werden kann.

Selbstverständlich muss man zunächst \(\displaystyle I=\int \limits_{a}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \) bilden und im Ergebnis a gegen 0 gehenm lassen.