Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt eine normalverteilte abgefüllte Packung außerhalb dieses Toleranzbereichs?

Question

Aufgabe:

Das Abfüllgewicht von Kekspackungen ist normalverteilt mit \( \mu=299 g \) und \( \sigma=2 g \). Es ist ein Toleranzbereich von \( 300 \pm 5 g \) vorgegeben.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt eine abgefüllte Packung außerhalb dieses Toleranzbereichs?

Problem/Ansatz:

Könntet ihr mir bei dieser Aufgabe bei dem Ansatz helfen oder wie man solche Aufgaben ausgerechnet? Vielen Dank für eure Hilfe

Answer 1

Geg.:X - Abfüllgewicht, X ~ \(N(\mu,\sigma^2)\) mit \(\mu = 299, \sigma = 2\)

Ges.:

$$1- P(295 \leq X \leq 305) = 1 - P\left(\frac{295-\mu}{\sigma} \leq \underbrace{\frac{X -\mu}{\sigma}}_{\stackrel{Z}{Z\sim N(0,1)}}  \leq \frac{305-\mu}{\sigma} \right)$$

$$\approx 1- 0.9759 = 0.0241$$

Die Rechnung für\(P\left(\frac{295-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{305-\mu}{\sigma} \right)\) ist hier

Answer 2

1 - P(295 ≤ X ≤ 305)

= 1 - (Φ((305 - 299)/2) - Φ((295 - 299)/2))

= 1 - (Φ(3) - Φ(-2))

= 1 - (0.99865 - 0.02275)

= 0.02410