Summe quadratische Abw. = Arith.Mittel, Beweis

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Wenn man die Summe der quadratischen Abweichungen also$$ J(r) = \sum \limits_{i=1}^{n} (r-y_i)^2$$ minimiert, dann ist r gleich dem arithmetischen Mittel.

Problem/Ansatz:

$$J'(r) = \sum \limits_{i=1}^{n} 2*(r-y_i) = 0$$

$$\sum \limits_{n=1}^{n}2r - \sum \limits_{n=1}^{n}2y_i = 0$$

$$\sum \limits_{n=1}^{n}r - \sum \limits_{n=1}^{n}y_i = 0$$

$$\sum \limits_{n=1}^{n}r = \sum \limits_{n=1}^{n}y_i$$

$$n*r= \sum \limits_{n=1}^{n}y_i$$

$$r= \sum \limits_{n=1}^{n}y_i / n$$

$$\frac{1}{n}\sum \limits_{n=1}^{n}y_i$$

Könnte mir jemand sagen, ob die Rechnung so richtig ist?

Answer 1

Die Rechnung ist richtig.

Es wäre nur günstig, auch die 2. Ableitung zu bilden, um zu zeigen, dass es sich um ein Minimum handelt.

Der Rest ist dann "mathematische Folklore".

Comments

Das ging ja fix. Vielen Dank!

Answer 2

Aloha :)

Deine Rechung ist richtig, aber viel zu aufwändig.

Das Minimum von \(J(r)\) ist gleich \(0\), weil alle Summanden \(\ge0\) sind. Dieses Minimum wird genau dann angenommen, wenn alle Summanden gleich \(0\) sind, wenn also \(r=y_i\) für alle \(i=1\,\ldots,n\) gilt:$$\frac{y_1+\ldots+y_n}{n}=\frac{r+\ldots+r}{n}=\frac{n\cdot r}{n}=r$$

Comments

Das ist doch aber nur der Fall, wenn alle \(y_i\) gleich sind, was eher selten vorkommt, oder sehe ich das falsch?

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Aber nur genau für diesen Fall wird das Minimum erreicht. Und darum geht es bei der Aufgabenstellung.

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Offenbar hast du die Aufgabe komplett missverstanden.

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Nee, ich habe die Aufgabe schon komplett richtig verstanden ;)