100 Kinobesucher werden zufällig sechs Sälen zugewiesen. Wieviele Verteilungen sind möglich?

Question

Aufgabe: Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Ein Radiosender hat 100 Freikarten für einen Kinobesuch verlost. An dem Abendlaufen die 6 Filme \( A, B, C, D, E, F \) und für jeden der 100 Gewinner wird mit einem Würfel entschieden, welchen Film er sehen darf (fairer Würfel, unabhängige Würfe).

Alle Antworten auf die folgenden Fragen können in Form von Ausdrücken wie z.B. \( 2^{100} \) oder \( 100^{6} \cdot\left(\begin{array}{c}{100} \\ {6}\end{array}\right) \) gegeben werden.

a) Wieviele Verteilungen der 100 (unterscheidbaren) Gewinner auf die 6 Filme sind möglich und wieviele Verteilungen gibt es, wenn man die Gewinner nicht unterscheidet?

unterscheidbar: __

nicht unterscheidbar: __

b) Alice, Bob und Carol gehören zu den Gewinnern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Alice und Bob den gleichen Film sehen und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass alle drei den gleichen Film sehen? Bitte eine kurze Begründung!

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Film F von keinem der 100 Gewinner besucht wird? Bitte eine kurze Begründung!

d) Jeder Gewinner hat genau zwei persönliche Wunschfilme. Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl der Gewinner, die einen ihrer Wunschfilme sehen? Auch hier bitte eine kurze Begründung.

Comments

Bei a1) komme ich auf 6^100.

b1) 6*1 / (6*6) = 1/6 Wahrsch. dass B den gleichen Film wie A erwischt

b2) 6*1*1/ (6*6*6) = 1/36 Wahrsch. dass B und C den gleichen Film wie A erwischen.

c) 5^100 / 6^100 = (5/6)^100 Wahrsch. das bei jedem der 100 etwas ohne F erscheint.

Answer 1

Kombinatorik Wahrscheinlichkeit verteilungsaufgaben usw WS bestimmen kurze begründung

Ein Radiosender hat 100 Freikarten für einen Kinobesuch verlost. An dem Abend laufen die 6 Filme A; B; C; D; E; F und für jeden der 100 Gewinner wird mit einem Würfel entschieden, welchen Film er sehen darf (fairer Würfel, unabhängige Würfe).

a) Wie viele Verteilungen der 100 (unterscheidbaren) Gewinner auf die 6 Filme sind möglich und wie viele Verteilungen gibt es, wenn man die Gewinner nicht unterscheidet?

unterscheidbar: 6^100 =

nicht unterscheidbar: (100 + 5 über 5) = (105 über 5)

b) Alice, Bob und Carol gehören zu den Gewinnern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass Alice und Bob den gleichen Film sehen und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass alle drei den gleichen Film sehen? Bitte eine kurze Begründung!

Für Alice und Bob gibt es 6 * 6 = 36 Film-Kombinationen. Bei 6 schauen sie den gleichen Film. Also 6/36 = 1/6

Für Alice Bob und Carol gibt es 6 * 6 * 6 = 216 Film-Kombinationen und auch nur bei 6 schauen alle den gleichen Film. Also 6/216 = 1/36

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Film F von keinem der 100 Gewinner besucht wird? Bitte eine kurze Begründung!

Die Wahrscheinlichkeit bei 100 Würfen immer nur eine 1-5 zu würfeln beträgt: (5/6)^100

d) Jeder Gewinner hat genau zwei persönliche Wunschfilme. Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl der Gewinner, die einen ihrer Wunschfilme sehen? Auch hier bitte eine kurze Begründung

Das jemand seinen Wunschfilm sieht ist 2/6 = 1/3. Der Erwartungswert ist

E = n * p = 100 * 1/3 = 33,3.

Etwa 33 Leute sehen einen ihrer 2 Wunschfilme.

Comments

Ich glaube für a.) kann man auch eine verallg. Schubfachprinzip lösen als auch binomial.......bin noch am überlegen

---

Ja. Meist lassen sich solche Probleme ja immer auf mehrere Arten lösen. Wäre daher ganz gut wenn jemand noch eine andere Möglichkeit macht, auch damit man die Ergebnisse vergleichen kann.

---

@Mathecoach bei a2 musst du (105 tief 5) = (105 tief 100) nehmen.

So was nennt sich im Formelbuch z.B. 'Anzahl Kombinationen mit Wiederholungen (n Elemente, Länge k)

(n+k-1 tief k) = (n+k-1 tief n-1)

Alles andere scheint mit meinen Formeln übereinzustimmen. Gute Erklärung für den Erwartungswert!

---

Ja. Du hast natürlich recht. Hab versehentlich vergessen einen abzuziehen.

Answer 2

a2) funktioniert gleich wie die Verteilung der 400 Goldstücke auf die 20 Piraten in https://www.mathelounge.de/9753/verteilung-piratenkapitane-beraten-anschaffung-ausrustung.
ununterscheidbare Zuschauer == Goldstücke
Kinosäle == Piraten

Statt Steine nehme ich Wände zwischen den Sälen. Säle sind nebeneinander. 5 Wände.

Resultat in einer Anordnung von 100 Personen und 5 Wänden können die Wände irgendwie verteilt sein. Alles andere sind dann automatisch Personen.

Geht auf (105 tief 5) * (100 tief 100) oder kurz auf (105 tief 5) Arten 

a1),b),c) vgl. Kommentar.
d) ist heute noch offen.