untersuchen sie die funktion auf gleichmäßige stetigkeit und auf lipschitz-stetigkeit

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( D \subset \mathbb{R} \). Eine Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) heißt Lipschitz-stetig, falls eine Konstante \( L \geq 0 \) existiert mit \( |f(x)-f(y)| \leq L|x-y| \) für alle \( x, y \in D \).
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass jede Lipschitz-stetige Funktion gleichmäßig stetig ist.
(b) (3 Punkte) Untersuchen Sie die Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x} \) auf gleichmäßige Stetigkeit und auf Lipschitz-Stetigkeit.

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe bei der b)

Answer 1

Gleichmäßig Stetig aber nicht lippschitz:

Glm Stetig:

Hab mir mal den Großteil der schreibarbeit gespart und nur die Abschätzung hingeschrieben:

Wähle δ=ε² 

|\( \sqrt{x} \)-\( \sqrt{y} \)| < \( \sqrt{|x-y|} \) <\( \sqrt{δ} \)<\( \sqrt{ε^{2}} \)

Lipschitz :

sei y = 0 und x= \( \frac{1}{4L^{2}} \)

und dann halt zeigen:

|f(x)-f(y)| > L|x-y|

mfg