Funktionen auf R^2 auf Stetigkeit untersuchen.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden auf R² definierten Funktionen auf Stetigkeit.

Text erkannt:

(i) \( f(x, y):=\left\{\begin{array}{cc}\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { falls }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)
(ii) \( g(x, y):=\sin (x+y) \cdot f(x, y) \)

Problem/Ansatz:

Mir liegen die Musterlösungen dieser Aufgabe vor, allerdings kann ich diese leider nicht vollständig nachvollziehen. Vielleicht kann mir das jemand erklären.

Zunächst bei der i). f ist stetig auf R2 \{0,0} da Zusammensetzung stetiger Funktionen. So fängt übrigens auch die ii) an. Was ist damit genau gemeint? Da \{0,0} gehe ich davon aus das wir zunächst den Fall oben betrachten. Woran erkenne ich nun, dass diese Funktion stetig ist?

Weiter steht in der Lösung: f ist nicht stetig in (0,0), da z.B. (0, 1/k) für k gegen unendlich : (0,0) aber f(0,1/k) = 1. Das heißt, wir suchen einen Wert den wir gegen 0 läuft für k gegen unendlich aber wenn wir diesen Wert in f einsetzen etwas ungleich 0 bekommen? So zumindest meine Erklärung.

Bei der ii) wird im Prinzip gezeigt das die Funktion gegen 0 läuft und somit stetig ist.

Vielleicht könnte mir jemand auch zusätzlich erklären, wie ich grundsätzlich am besten vorgehen sollte.

Vielen Dank.

Answer 1

Zunächst bei der i). f ist stetig auf R2 \{0,0} da Zusammensetzung stetiger Funktionen. So fängt übrigens auch die ii) an. Was ist damit genau gemeint?

Für (x,y)≠(0,0) ist ja f(x,y) durch den Term \( \frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \) gegeben.

Sicher hattet ihr solche Sätze wie : Summe, Different, Produkt und Quotient (für

Nenner ≠ 0 ) stetiger Funktionen sind stetig. Das ist hier wohl mit

" Zusammensetzung stetiger Funktionen" gemeint. Also brauchst du hier nur die

Stetigkeit an der Stelle (0,0) zu untersuchen.

Da \{0,0} gehe ich davon aus das wir zunächst den Fall oben betrachten. ✓

Woran erkenne ich nun, dass diese Funktion stetig ist? Mit einem Blich gar nicht.

Die Autorin der Lösung hat aber wohl genauer hingeschaut und "gesehen",

dass es eine Folge gibt (hier (0;1/k) mit k∈ℕ, die für k gegen unendlich

zwar gegen (0,0) konvergiert, aber die Folge der Funktionswerte nicht gegen

den Funktionswert f(0,0). Wenn dem so ist, es also eine solche Folge

gibt, dann ist die Funktion an dem Punkt nicht stetig.

Bei (ii) wird für die Punkte (x,y)≠(0,0) das gleiche Argument wie oben benutzt.

Wenn dann gezeigt wird, dass für jede Folge (x_n,y_n) , die gegen (0,0) geht,

auch die Folge der Funktionswerte gegen g(0,0)=0 geht, dann ist die

Funktion auch an dieser Stelle stetig.

Schau mal unter "Definition mittels Grenzwerten" nach bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Funktion#Definition

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Selbst wenn wir den konkreten Wert von f(0,0) nicht gekannt hätten, kann die Funktion dort nicht stetig sein.

Nähern wir uns dem Punkt (0,0) auf der y-Achse (also auf der Gerade x=0) an, sind die Funktionswerte konstant \( \frac{y^2-0^2}{0^2+y^2} =1\).

Nähern wir uns dem Punkt (0,0) auf der x-Achse (also auf der Gerade y=0) an, sind die Funktionswerte konstant \( \frac{0^2-x^2}{x^2+0^2} =-1\).

Da bei verschiedenen Wegen der Annäherung an (0|0) verschiedene Grenzwerte dieser Annäherung entstehen, kann die Funktion dort nicht stetig sein.

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Auch dir, vielen Dank!