Aloha :)
Deine Ableitung ist "unendlich lang", weil dir noch niemand die wirklich wichtigen Rechenregeln gezeigt hat.
Wir betrachten eine Funktion \(f(r)\), die nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r=(x_1;\ldots;x_n)\) abhängt. Die \(i\)-te Komponente ihres Gradienten bestimmen wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{x_i }{r}$$Damit lautet der gesamte Gradient:$$\operatorname{grad}f(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\x_3/r\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r$$$$\boxed{\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0}$$
Damit wird der Gradient "deiner" Funktion nun übersichtlich und simpel:$$f(r)=\ln\left(\frac{1-r}{1+r}\right)\quad\implies$$$$\operatorname{grad}f(r)=\frac{1}{\frac{1-r}{1+r}}\cdot\frac{-(1+r)-(1-r)}{(1+r)^2}\cdot\vec r^0=\frac{-2}{(1-r)(1+r)}\vec r^0=\frac{2}{r^2-1}\,\vec r^0$$Wenn du noch mit \(r\) erweiterst, kannst du \(\vec r\) anstatt \(\vec r^0\) schreiben:$$\operatorname{grad}f(r)=\frac{2}{r^3-r}\,\vec r$$
