Question

Wieviele 6-Tupel aus der Menge {1, 2, 3, 4} gibt es, in denen jedes Element höchstens 2 Mal vorkommt?

Wie schon bei der letzten Frage geht es mir weniger um die Lösung der Antwort, sondern um die Formulierung. Was bedeutet "6-Tupel"?

Comments

2-Tupel kennt man auch unter dem Begriff geordnetes Paar.

(x,y) ist zB ein solches 2-Tupel.

Der Unterschied zur Menge ist, dass hier die Reihenfolge und Anzahl der Einträge eine Rolle spielt.

Es ist {x,x}={x} aber (x,x)≠(x)

Und {x,y}={y,x} aber (x,y)≠(y,x)

Ein 6-Tupel ist nun ein solches Gebilde mit 6 Einträgen.

Answer 1

Hallo,

zunächst betrachte ich die 6-Tupel in denen die drei Ziffern 1, 2 und 3 jeweils genau zweimal vorkommen. Die 4 fehlt also.

112233 in beliebiger Reihenfolge.

Hier gibt es 6!/(2!•2!•2!)=720/8=90 Tupel.   (#)

Nun kann aber genauso die 1, 2 oder 3 fehlen, d.h. es gibt 4•90=360 Tupel, bei denen 3 Elemente jeweils zweimal vorkommen.

Als nächstes überlege ich, welche Arten von Tupeln noch vorkommen können.

Zwei Ziffern sollen genau einmal vorkommen.

123344   (*)

6!/(2!•2!)=180Tupel mit den genannten Ziffern.

Die einmal vorkommenden Ziffern können

12 ; 13 ; 14 ; 23 ; 24 ; 34 sein. ( 2aus 4, also 4 über 2 bzw. 6 )

Daher gibt es 6•180=1080 Tupel der Art (*).

Mehr Tupel gibt es nicht. Wenn drei Ziffern genau einmal vorkommen sollten, ist die Voraussetzung nicht erfüllt.

Insgesamt gibt es also

360+1080=1440 Tupel.

:-)

PS:

Wieso dividiere ich durch 2!•2!•2! ?

Wenn es 6 verschiedene Ziffern wären, gäbe es 6! Tupel.

Z.B. 142536 und 415263 sind unterschiedlich.

112233 und 112233 sind aber gleich. Bei jeder doppelt vorkommenden Ziffer gibt es also nur halb so viele Tupel.

Answer 2

Ein Tupel wäre z.B. abcdab, aabbcc

Dies musst du mit allen Zahlen und Reihenfolgen durchspielen

a=1, b=2, c=3, d=4

https://www.mathebibel.de/permutation-mit-wiederholung

PS:

aabbcc: 3! = 6 Reihenfolgen

abcdab: 6!/(2!*2!) = 180 Reihenfolgen

Answer 3

Nein, keine reihenfolge: "In denen jedes Element max. 2mal vorkommen kann" ist Kombination! Irgendwie verstehe ich die Aufgabe auch nicht, denn aus den 4 Elementen werden 6er Tupel gebildet, also 2 ideelle kommen dazu!

1234(12); 1234(13); 1234(14); 1234(23); ... also insgesamt nur 6!????