Bestimme, falls möglich, den Wert des Integrals

Question

Hallo!

Wie üblich habe ich weitere Aufgaben zum uneigentlichen Integral gelöst und bin wieder bei einer Aufgabe stecken geblieben. Ich habe als Lösung divergent rausbekommen, aber der Integralrechner hat ein folgendes Ergebnis gezeigt: ln(12)-ln(4) und meinte, dass das der Cauchysche Hauptwert ist. Kann ich auch einfach hinschreiben, dass es divergiert ohne als Lösung ln(12)-ln(4) angeben zu müssen? Also wäre meine Berechnung hier so richtig??

Aufgabe:

Bestimmen Sie, falls möglich, den Wert des Integrals
\( \int \limits_{0}^{4} \frac{2 x}{x^{2}-4} d x \)

\( \begin{array}{l} \text { 2) } \int \limits_{0}^{4} \frac{2 x}{x^{2}-4} d x= \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{2 x}{x^{2}-4} d x+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}} \int \limits_{a}^{4} \frac{2 x}{x^{2}-4} d x \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[\ln \left|x^{2}-4\right|\right]_{0}^{b}+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[\ln \left|x^{2}-4\right|\right]_{a}^{4} \\ =\left[\ln \left|b^{2}-4\right|-\ln \left|0^{2}-4\right|\right]= \\ +\left[\ln |16-4|-\ln \left|a^{2}-4\right|\right]= \\ \ln (0)-\ln (+4)+\ln (12)-\infty^{} \end{array} \)
\( \Longrightarrow \) nicht definiert?

Problem/Ansatz:

Comments

zum Vergleich:

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+2x%2F%28x%5E2-4%29+from+0+to+4

Answer 1

Hallo,

Also wäre meine Berechnung hier so richtig??

der Schluß, dass das Integral nicht definiert ist, ist falsch. Rein formal hast Du ja:$$\int \limits_{0}^{4} \frac{2 x}{x^{2}-4} d x = \ln(0) - \ln(4) - \ln(0) + \ln(12)$$Nun ist \(\ln(0) = -\infty\) und \(\infty - \infty\) ist nicht definiert, wenn man nicht weiß wo es herkommt.

Wir wissen hier aber wo es herkommt und können genauer schreiben:$$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \left(\int\limits_{0}^{2-\epsilon} f(x) \,\text{dx} + \int\limits_{2+\epsilon}^{4}f(x)\,\text{dx}\right)\quad\quad \epsilon\gt 0 \\ = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \left(\ln|-4\epsilon+\epsilon^2 | - \ln(4) + \ln(12) - \ln|4\epsilon+\epsilon^2 | \right)$$und nun sieht man, dass sich diese \(\infty\)-Ausdrücke raus heben, da sie für kleine Werte von \(\epsilon\) gegen \(\ln(4\epsilon)\) laufen. Es bleibt also$$\dots = \ln(12)-\ln(4) = \ln(3)$$siehe auch Cauchyscher Hauptwert. Im Wiki-Artikel wird dann ein \(\operatorname{CH}\) vor das Integral geschrieben$$\operatorname{CH}\int\limits_{0}^{4} \frac{2x}{x^2-4}\,\text{d}x = \ln(3)$$es heißt da auch so schön: "... es kann dem Integral ein Wert zugewiesen werden". Wenn Du das mit dem \(\operatorname{CH}\) hin schreibst, ist es sicher nicht falsch ;-)

Gruß Werner

Comments

Erstmal vielen Dank für deine Erklärung! Aber ln(0) ≠ ∞, da ln(0) = undefiniert, nur wenn das der rechtsseitige Grenzwert ist, also lim 2+, dann ist ln(0) = - ∞. Ansonsten existiert ja gar kein Grenzwert. Denke ich da falsch?

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Aber ln(0) ≠ ∞, da ln(0) = undefiniert, nur wenn das der rechtsseitige Grenzwert ist, also lim 2+, dann ist ln(0) = - ∞. Ansonsten existiert ja gar kein Grenzwert. Denke ich da falsch?

Nein - denkst Du nicht. Aber in diesem Fall haben wir ja in beiden Fällen durch die Betragsstriche einen rechtsseitigen Grenzwert. $$\lim\limits_ {\epsilon \to 0} \ln|-4\epsilon + \epsilon^2| = - \infty$$

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Aber ist es nicht egal, ob da Betragsstriche sind oder nicht? Denn entscheidend ist ja, ob man sich von rechts oder von links an die Funktion annähert.

Und von wo kommt eigentlich das -4 Epsilon? Also warum epsilon? Warum nicht nur -4?

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Aber ist es nicht egal, ob da Betragsstriche sind oder nicht?

Nein natürlich nicht, da \(\ln(x)\) für \(x \lt 0\) nun wirklich nicht definiert ist.

Und von wo kommt eigentlich das -4 Epsilon? Also warum epsilon? Warum nicht nur -4?

Na ja - der Term \(\ln|x^2-4|\) für \(x=2\mp \epsilon\) ist eben$$\phantom{=}\ln|(2\mp\epsilon)^2-4| \\ = \ln|4 \mp 4\epsilon + \epsilon^2 - 4|\\=\ln| \mp 4\epsilon + \epsilon^2|$$

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Alles klar, aber ich check immer noch nicht warum wir zwei mal den rechtsseitigen Grenzwert haben. Warum die Betragsstriche eine Rolle spielen versteh ich nicht. Das will mir noch nicht einleuchten...

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Warum die Betragsstriche eine Rolle spielen versteh ich nicht.

ohne die Betragsstriche lässt sich das Integral bei \(x\lt2\) doch gar nicht berechnet. Schau Dir dieses Integral an:$$\int\limits_{x=0}^{1} \frac{2x}{x^2-4}\,dx = \ln|-3| - \ln|-4| = \ln(0,75) \approx -0,29$$bis dahin sollte Deine Welt doch in Ordung sein - oder?

und jetzt dynamisiere ich das $$\int_{0}^{2-\epsilon}\frac{2x}{x^2-4}\,dx = \ln|-4\epsilon + \epsilon^2| - \ln|-4|$$Für \(\epsilon =1\) ist das ganze identisch zu oben. Und wenn Du jetzt \(\epsilon\) immer kleiner werden lässt hast Du den Fall von oben. Das Argument des Logarithmus (ich glaube hier liegt der Unterschied!) ist natürlich immer positiv. Dass man sich dem Grenzwert des Integrals von links nähert, spielt dabei keine Rolle. Das Argument des Logarithmus ist positiv, wird immer kleiner und nähert sich daher von rechts. Und das ist der Unterschied.

Btw.: Du kanst es auch ohne Betragstriche schreiben:$$\ln|-4\epsilon + \epsilon^2| - \ln|-4| = \ln\left(\frac{-4\epsilon + \epsilon^2}{-4}\right) \quad 0 \lt \epsilon \lt 4\\ =\ln\left(\frac{4\epsilon - \epsilon^2}{4}\right) =  \ln\left(\epsilon - \frac{1}{4}\epsilon^2\right)$$

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Ich weiß nicht, ob ich's wirklich verstanden habe, aber ich fasse es ganz kurz mal zusammen: Dadurch dass das Argument des Log. immer positiv ist, haben wir immer den rechtsseitigen Grenzwert, richtig? Und ist dann immer so?

Und woher wissen wir, dass das Argument des Log. immer kleiner wird? Sry, falls die frage selbsterklärend ist, aber das habe ich auch noch nicht durchblickt.

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Dadurch dass das Argument des Log. immer positiv ist, haben wir immer den rechtsseitigen Grenzwert, richtig?

Ja und zwar den Grenzwert des \(\ln\) und nicht der des Integrals!

Und ist dann immer so?

Nein - nicht zwingend. Das muss man sich im Einzelfall ansehen. Sollte das Ergebnis des Integrals \(\ln|\dots|\) sein, so wie hier, so ist das Argument natürlich zwangsläufig positiv.

Und woher wissen wir, dass das Argument des Log. immer kleiner wird?

... :-) komische Frage! Weil wir es so definiert haben!

Das Ziel ist es doch $$\int\limits_{0}^{2} f(x) \,\text{dx} + \int\limits_{2}^{4}f(x)\,\text{dx} = \space ?$$zu berechnen! Nun ist die Stelle \(f(2)\) aber ein Pol - sprich: nicht definiert. Und deshalb sparen wir die Stelle mit einem Bereich \(2\pm\epsilon\) aus und lassen das (positve) \(\epsilon\) dann gegen 0 laufen. Und konsequenterweise läuft dann das Argument des Logarithmus gegen \(0\). Das ist ja gerade die Stelle, die interessiert!

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Achso, ja, jetzt versteh' ich das ganze schon besser. Und wie müsste die Aufgabe sein, damit wir einen linksseitigen Grenzwert haben?

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Und wie müsste die Aufgabe sein, damit wir einen linksseitigen Grenzwert haben?

Versuche mal:$$\int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} + 1\,\text{d}x$$

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Vielen Dank für die Aufgabe, aber ich meinte eine Aufgabe der ln Funktion, wo wir einen linksseitigen Grenzwert haben, also wo wir uns von links an die ln funktion annähern.

Aber als Übung habe ich das Zusatzspiel gerechnet und bin auf das folgende Ergebnis gekommen:

\( \begin{array}{l}\lim \limits_{b \rightarrow 0} \int \limits_{-1}^{b}\left(\frac{1}{x^{3}}+1\right) d x=\lim \limits_{b \rightarrow 0^{-}}\left[-\frac{1}{2 x^{2}}+x\right]_{-1}^{b} \\ \lim \limits_{b \rightarrow 0^{-}}\left[\left(-\frac{1}{2 b^{2}}+b\right)-\left(-\frac{1}{2}-1\right)\right]= \\ =0+0+\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}+\frac{2}{2}=\frac{3}{2} \\ \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{a}^{1}\left(\frac{1}{x^{3}}+1\right) d x=\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}\left[-\frac{1}{2 x^{2}}+x\right]_{a}^{1}= \\ \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}\left[-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2 a^{2}}-a\right]= \\ =-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+0-0=\frac{1}{2} \\ 1 \\ \int \limits_{-1}^{1}\left(\frac{1}{x^{3}}+1\right) d x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}=2\end{array} \)

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Nur fürs Protokoll:

$$\lim_{b \to 0-} -\frac{1}{2b^2}$$

ist nicht 0.

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Wieso nicht? Das muss doch 0 sein.

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Dann setze mal für b kleine Zahlen ein und berechne den Bruch

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Aber b ist doch 0, und 1/0 ist ja ∞

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Mein Reden Mein Reden

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Was ist \(\lim_{b \to 0-} -\frac{1}{2b^2}\) ?

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Was ist \(\lim_{b \to 0-} -\frac{1}{2b^2}\) ?

$$\lim_{b \to 0-} -\frac{1}{2b^2} = -\infty$$wobei es egal ist, ob \(b\) sich von links oder rechts der \(0\) nähert.

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Achso, danke Werner. Wäre \(\lim_{b \to 0-} +\frac{1}{2b^2}\), dann hätten wir + ∞ oder?

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Wäre \(\lim_{b \to 0-} +\frac{1}{2b^2}\), dann hätten wir + ∞ oder?

Ja!

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Achso, dann hatte ich nur einen Vorzeichenfehler, danke dir Werner Salomon!

Answer 2

Aloha :)

Eine Stammfunktion kannst du sofort hinschreiben:$$F(x)=\int\frac{2x}{x^2-4}\,dx=\int\frac{1}{x^2-4}(2x\,dx)=\int\frac{1}{x^2-4}d(x^2)=\ln|x^2-4|+\text{const}$$

Da das Integrationsintervall \([0;4]\) über die Nullstelle \(x=2\) des Nenners führt, gilt:$$\int\limits_0^4\frac{2x}{x^2-4}\,dx=\lim\limits_{g\nearrow2}\int\limits_0^g\frac{2x}{x^2-4}\,dx+\lim\limits_{g\searrow2}\int\limits_g^4\frac{2x}{x^2-4}\,dx$$$$\phantom{\int\limits_0^4\frac{2x}{x^2-4}\,dx}=\lim\limits_{x\nearrow2}F(x)-F(0)+F(4)-\lim\limits_{x\searrow2}F(x)$$

Da die Grenzwerte der Stammfunktion nicht existieren, ist das Integral undefiniert.

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung!

die Grenzwerte der Stammfunktion existieren ja nicht, heißt das dann, dass ln(0) auch nicht existiert bzw. nicht definiert ist?

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\(\ln(x)\) geht für \(x\to0\) gegen \((-\infty)\).

Daher existiert der Grenzwert nicht.

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Eben diesen Schritt konnte ich nichts nachvollziehen, zwar hat Werner-Salomon das schon erklärt, aber das will mir immer noch nicht einleuchten. Also ich check nicht, warum wir aufgrund der Betragsstriche beide male einen rechtsseitigen Grenzwert haben. Da haperts noch…

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Die \(\ln\)-Funktion ist doch für \(x\le0\) gar nicht definiert. Daher kann es keinen linksseitigen Grenzwert geben.

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Achso, heißt das dann dass die ln funktion immer rechtsseitig ist? Außerdem nähert sich die ln Funkttion immer rechts der Unendlichkeit an, also der Graph ist auf der rechten Seite quasi, deswegen ist es immer rechtsseitig, oder?

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Ich glaube, du wirfst hier zwei Sachen durcheinander.

Die eine ist der Grenzwert der Funktion \(\ln(x)\) für \(x\to\infty\). Hier kommst du natürlich nur von links, weil rechts von \(\infty\) nichts ist. Dieser Grenzwert existiert aber nicht, weil die Funktion für \(x\to\infty\) bestimmt gegen \((+\infty)\) divergiert.

Die andere ist der Grenzwert der Funktion \(\ln(x)\) für \(x\to0\). Da die Funktion nur für \(x>0\) definiert ist, kannst du dich der Stelle nur von rechts nähern \(x\searrow0\). Dieser Grenzwert existiert aber auch nicht, weil die Funktion für \(x\searrow0\) bestimmt gegen \((-\infty)\) divergiert.

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Achsooo, ich glaube jetzt hat's wirklich klick gemacht. Was mir noch fehlt ist die korrekte mathematische Schreibweise. Da wir uns ja nur von rechts annähern, haben wir ja den rechtsseitigen Grenzwert, soll ich dann bei lim (b--> 2-) einfach b--> 2+ hinschreiben?

Also so:

\( \begin{array}{l}\int \limits_{0}^{4} \frac{2 x}{x^{2}-4} d x=\lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{2 x}{x^{2}-4} d x+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}} \int \limits_{a}^{4} \frac{2 x}{x^{2}-4} \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[\ln \left|x^{2}-4\right|\right]_{0}^{b}+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[\ln \left|x^{2}-4\right|\right]_{a}^{4}= \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[\ln \left|b^{2}-4\right|-\ln |0-4|\right]+ \\ \lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[\ln |16-4|-\ln \left|a^{2}-4\right|\right]= \\ \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}[\ln |x|-\ln (4)]+\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}[\ln |12|-\ln |x|] \\ -\infty-\ln (4)+\ln (12)+\infty=\end{array} \)

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Mir sind zwei Schreibweisen bekannt:

von unten/ links kommend:\(\quad\lim\limits_{x\nearrow2}\quad\text{oder}\quad\lim\limits_{x\to2-}\)

von oben/ rechts kommend:\(\quad\lim\limits_{x\searrow2}\quad\text{oder}\quad\lim\limits_{x\to2+}\)

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Wir haben das in der VO etwas anders geschrieben, aber was ich damit meinte. Soll ich überall 2+ hinschreiben, also den rechtsseitigen Grenzwert oder soll ich das so lassen mit dem linksseitigen Grenzwert 2- ? Wir können uns janur von rechts annähern, wäre dann der Ausdruck, also der linksseitige Grenzwert lim (b -> -2) nicht falsch? Müsste ich nicht überall \(\quad\lim\limits_{b\to2+}\) hinschreiben??

Answer 3

Zunächst einmal ist dieses Integral ganz bestimmt NICHT definiert !

Wenn man dann trotzdem den "Cauchy - Hauptwert" angeben will, so ist dies eine "Notlösung", welche aber nicht darüber hinweg täuschen kann, dass das eigentliche Integral eben keinen definierten Wert hat.