Aloha :)
Du hast hier eine Funktion \(f(x)\) bestehend aus einem Polynom \(z(x)\) im Zähler und einem Polynom \(n(x)\) im Nenner:$$f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}=\frac{x-x^2}{2-x-x^2}\stackrel{\frac{\cdot(-1)}{\cdot(-1)}}{=}\frac{x^2-x}{x^2+x-2}=\frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)}$$
Bei solchen Funktion sind die Nullstellen von Zähler und Nenner wichtige Punkte.
$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{=0}{\ne0} & \text{Nullstelle}\\[2ex]\frac{\ne0}{=0} & \text{Definitionslücke mit Polstelle}\\[2ex]\frac{=0}{=0} & \text{stetig behebbare Definitionslücke}\end{array}}$$
1. Fall: Nullstelle, wenn Zähler gleich Null und Nenner ungleich Null.
An solchen Stellen \(x\) hat die Funktion \(f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}\) eine Nullstelle.
Das ist hier konkret bei \(x=0\) der Fall.
2. Fall: Polstelle, wenn Zähler ungleich Null und Nenner gleich Null.
An solchen Stellen \(x\) hat die Funktion \(f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}\) eine Polstelle.
Das ist hier konket bei \(x=-2\) der Fall.
3. Fall: Stetig behebbare Lücke, wenn Zähler gleich Null und Nenner gleich Null.
An solchen Stellen \(x\) hat die Funktion \(f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}\) eine behebbare Lücke.
Das ist hier konkret bei \(x=1\) der Fall.
~plot~ (x-x^2)/(2-x-x^2) ; x=-2 ; {0|0} ; {1|1/3} ; [[-6|6|-8|8]] ~plot~
