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Aufgabe:

Es seien X1, . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit zugehörigen Verteilungsfunktionen FX1, . . . , FXn.
Man bestimme die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen

Y := max(X1, . . . , Xn) und Z := min(X1, . . . , Xn).


Problem/Ansatz:

In unserem script steht nichts dazu und im Internet werde ich auch nicht fündig, irgendwelche Tips oder beispiele?

Vielen Dank im voraus.

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Stichwort Funktion und Transformation Mehrdimensionaler ZV

https://statistik.econ.kit.edu/download/Wahrscheinlichkeitstheorie13.pdf

Mehrdimensionale Zufallsvariablen haben einen Wertebereich in \(\mathbb{R}^n\). Diese offensichtlich in \(\mathbb{R}\).

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Es gilt:$$F_Y(x)=P(\max(X_1,...,X_n)\leq x)=P(X_1\leq x \, \land \, X_2\leq x \, \land \, \cdots \land X_n\leq x) \\=P(X_1\leq x)\cdot \ldots \cdot P(X_n\leq x)$$ Das Maximum der \(X_i\) ist also kleiner gleich \(x\), wenn jedes der \(X_i\leq x\).

Und weiter:$$F_Z(x)=P(\min(X_1,...,X_n)\leq x)=1-P(\min(X_1,...,X_n)\geq x) \\=1- P(X_1\geq x \, \land \, X_2\geq x \, \land \, \cdots \land X_n\geq x)\\=1-P(X_1\geq x)\cdot \ldots \cdot P(X_n\geq x)$$ Das Minimum der \(X_i\) ist größer gleich \(x\), wenn alle \(X_i\) größer gleich \(x\) sind. Das sind die ä u ß e r e n Fälle der Ordnungsstatistik.

Avatar von 28 k

aus \( x\) ist bei dir ab der zweiten Zeile scheinbar \(n\) geworden.

Hab ursprünglich mit \(n\) angefangen, dann aber, weil \(F(n)\) ungewohnt aussieht und die ZV nicht diskret sind, \(x\) gewählt und vergessen, das konsequent auszutauschen. Danke für den Hinweis.

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