- \(\phi\) ist assoziativ, weil (a+b)+c = a+(b+c)
Nein.
\(\phi\) ist assoziativ, weil \(\phi(a,\phi(b,c)) = \phi(\phi(a,b),c)\) für alle \(a,b,c\in G\) ist.
\(\phi\) ist nicht die Addition. Die Addition habe ich nur als Beispiel gewählt um zu verdeutlichen, dass einige Regeln, die für \(\phi\) gelten, dir von der Addition bekannt sind. Das heißt aber nicht, dass alle Regeln der Addition auch für \(\phi\) gelten.
- \(\phi\) ist kommutativ, weil g+e = e+g
Nein.
\(\phi\) wäre kommutativ, wenn \(\phi(a,b) = \phi(b,a)\) für alle \(a,b\in G\) gelten würde.
In der Aussage "\( \phi(g, e)=\phi(e, g)=g \) für alle \( g \in G \)" kann \(g\) zwar jedes beliebige Element aus \(G\) sein, aber \(e\) eben nicht. \(e\) ist das eingangs der Aufgabenstellung vorgegebene Element von \(G\).
Aus gleichem Grund sagt auch "g+h = h+g=e" nicht aus, dass \(\phi\) kommutativ ist.
e=0 ??
Ja, wenn man \(G = \mathbb{Z}\) und \(\phi = +\) verwendet, dann ist \(e=0\).
Jetzt komme ich nicht weiter.
\(-a+b\) ist eine Lösung der Gleichung \(a+x=b\) wegen Probe:
Linke Seite.
\(\begin{aligned} & & & a+x\\ & \text{Einsetzen} & =\, & a+\left(-a+b\right)\\ & \text{Assoziativgesetz} & =\, & \left(a+\left(-a\right)\right)+b\\ & \text{Eigenschaft der Gegenzahl} & =\, & 0+b\\ & \text{Eigenschaft der }0 & =\, & b\end{aligned}\)
Rechte Seite.
\(b\)
Das wird jetzt auf die drei Regeln
- (A) \( \phi(\phi(a, b), c)=\phi(a, \phi(b, c)) \) für alle \( a, b, c \in G \)
- (N) \( \phi(g, e)=\phi(e, g)=g \) für alle \( g \in G \)
- (I) für alle \( g \in G \) gibt es ein \( h \in G \), so dass \( \phi(g, h)=\phi(h, g)=e \)
verallgemeinert. Dazu definiere ich mir erst ein mal eine Funktion
\(\iota:\ G\to G\)
die jedem \(g\in G\) ein \(\iota(g)\) zuordnet, so dass
\(\phi(g,\iota(g)) = \phi(\iota(g),g)=e\)
ist. Ein solches \(\iota(g)\) existiert ja wegen (I).
Dann ist
\(x=\phi(\iota(a),b)\)
eine Lösung der Gleichung \( \phi(a, x)=b \).
Beweis.
\(\begin{aligned} & & & \phi\left(a,x\right)\\ & \text{Einsetzen} & =\, & \phi\left(a,\phi\left(\iota\left(a\right),b\right)\right)\\ & \text{(A)} & =\, & \phi\left(\phi\left(a,\iota\left(a\right)\right),b\right)\\ & \text{(I)} & =\, & \phi\left(e,b\right)\\ & \text{(N)} & =\, & b \end{aligned}\)