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Hi,

Ich habe folgende Aufgabenstellung: 

Wenn x die Anzahl der Beitetiere, y die Anzahl der Raubtiere und $$\dot x \text{ bzw. } \dot y$$ die Zeitableitung bezeichnen, dann lautet die Räuber-Beute-Gleichung
$$\dot x = ax - bxy,$$ $$\dot y = -cy+dxy,$$
wobei a,b,c,d > 0 Modellparameter sind.

Zeigen Sie: Für jede Wahl von a,b,c,d gibt es eine Anfangsbedingung x(0)=x0, y(0)=y0, x0,y0>0, so dass die Lösung der Räuber-Beute-Gleichung konstant ist.

Nun bin ich wie folgt vorgegangen:
Ich habe zunächst die Gleichungen umgeschrieben zu
$$\dot x = ax - bxy = x(a-by),$$
$$\dot y = -cy+dxy = y(dx-c)$$

Die konstanten Lösungen ergeben sich ja an den Gleichgewichtspunkten der Gleichung:
1.) (x(t),y(t))=(0,0)
2.) $$x(a-by)=0$$
$$y(dx-c)=0$$
$$\Leftrightarrow \widetilde{x}= \frac{c}{d}, \widetilde{y}=\frac{a}{b}$$.

Hieraus ist ja ganz leicht zu sehen, dass die konstanten Lösungen unabhängig von a,b,c,d sind.
Was muss ich nun noch zeigen mit den Anfangsbedingungen?
Oder stimmt schon alles und ich bin nur verwirrt? :D

Avatar von

Habe gerade in einem anderen Thread gesehen, dass die Lösung so wohl richtig sein sollte :D
#CLOSED

1 Antwort

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Siehe auch hier https://www.mathelounge.de/365603/die-rauber-beute-gleichung#a365652

Die Lösung ist richtig. Die Lösungen sind aber nicht unabhängig sondern abhängig von a, b,c und d.

Und die Konstanten sind auch die Anfangswerte.

Avatar von 39 k
Hi ullim, danke für die Bestätigung.
Habe mich falsch ausgedrückt, ich meinte, dass die Lösungen durch die Wahl der Anfangsbedingungen immer konstant sind, unabhängig von der Wahl der Konstanten.

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