Grenzwertberechnung n-te wurzel von polynom

Question

Aufgabe:

Hallo liebe Mathematiker :)

Ich habe leider ein Problem bei der Berechnung eines Grenzwertes, bzw. suche ich nach einem schöneren Ansatz als den, den ich gewählt habe.

Ich soll den Grenzwert von

bn := \( \sqrt[n]{8n²-6n+7} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe den ausdruck nun auf (8n²-6n+7)^(1/n) umgeformt. 8n²-6n+7 geht für n gegn unendlich nach unendlich. Darum habe ich es dann auf

e^(ln(8n²-6n+7)/x) umgeformt.

Dann muss ich jetzt den grenzwert von ln(8n²-6n+7)/x berechnen, wofür wieder umformungen notwendig sind. Letzendlich komme ich auf einen Grenzwert von 1.

Nun meine Frage ob es für meine Aufgabe vielleicht einen schöneren Ansatz gibt um den Grenzwert zu berechnen.

Ich freue mich über Antworten:)

Answer 1

Es ist sicher irgendwo bewiesen worden, dass \(\sqrt[n]{n}\to 1\)

für \(n\to \infty\). Ferner sollte bekannt sein, dass für jede positive

reelle Zahl \(a\) gilt \(\sqrt[n]{a}\to 1\) für \(n \to \infty\).

Für \(n\geq 2\) gilt

\(\sqrt[n]{n^2}\leq \sqrt[n]{8n^2-6n+7}\leq \sqrt[n]{8n^2}\).

Das Sandwich-Lemma liefert dann den Grenzwert 1.

Comments

Wenigstens eine saubere Lösung hier. +1

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@ermanus, trancelocation: Danke dass Ihr ggt auf seine Unzulänglichkeit hingewiesen habt. Ich hatte ihn schonmal vergeblich auf dieses Problem hingewiesen. Vielleicht lässt er sich jetzt überzeugen.

Answer 2

Schreibe statt der n-ten Wurzel den gebrochenen Exponenten 1/n. Dieser geht für n→∞ gegen 0. Dann ist der Grenzwert natürlich 1.

Comments

Ok ja an das hab ich gedacht, nur war ich nicht sicher ob dies als begründung reicht:)

Danke für die Antwort:)

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Dann ist der Grenzwert natürlich 1.

Ich finde, dass man das begründen sollte,

da ich es keineswegs "natürlich" finde.

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@emanus: Willkommen in der Runde derjenigen Mitglieder, die lieber sich selbst produzieren statt eine Alternative anzubieten. Ist das konstruktiv? Nützt das dem FS?

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Klar nützt das. Es sei denn, er will nicht sauberes Begründen
lernen und damit die Gefahr eingehen, Mathematisches von
sich zu geben, das den Qualitätsmaßstäben wissenschaftlichen
Arbeitens nicht entspricht.

Ich habe eine Alternative angegeben. Vielleicht solltest du
die mal lesen. Wie kommst du auf die blöde Idee mir
zu unterstellen, ich wolle mich hier nur produzieren.

Answer 3

Für n ->oo kannst du -6n+7 vernachlässigen.

-> (8n^2)^(1/n) = 8^/(1/n)* (n^2)^(1/n) = 1*1 = 1 = lim bn für n-> oo

Comments

Für n ->oo kannst du -6n+7 vernachlässigen

Und warum?

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@ggT22
Das ist eine mathematisch außerordentlich unsaubere "Lösung".

Wie wäre es mit einer Korrektur? Oder geht es dir nur um Punkte?

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Und warum?

Weil n^2 schneller wächst als der Rest, wenn n gg. oo geht.

So wird oft argumentiert, auch in anderen Kontexten.

Welchen Billionär interessiert eine Million Peanuts? (vgl. Hilmar Kopper) :)

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Wie wäre es mit einer Korrektur?

Die darfst du gerne anbringen.

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Wenn jemand Mathematik studiert ist so eine intuitive
Denke zwar heuristisch wertvoll,
ersetzt aber keinen mathematischen Beweis.
Wer ein bisschen die Geschichte der Analysis
kennt, hat erfahren müssen, dass viele angeblich
klar ersichtliche Aussagen sich hernach als
falsch herausstellten.
Mathematikstudenten und -Studentinnen sollen
sauberes, unangreifbares Argumentieren lernen.

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@ggT22
Wie würdest du denn argumentieren bei

$$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)?$$

Nach deinem "Vernachlässigen"-Argument könnten Lernende nun denken, dass da 0 herauskommt, was jedoch falsch ist.

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Hier würde ich, wie schon sooft getan, zur 3. binom. Formel erweitern.

Du machst damit m.E. einen Äpfel-Birnenvergleich.

Mathematikstudenten und -Studentinnen sollen
sauberes, unangreifbares Argumentieren lernen.

Das sehe ich ein, doch was ist außer der Form, an meinem Ansatz angreifbar?

Verwendest du nicht letztlich auch Evidenzen beim Lemma?

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Nein. Ich beziehe mich auf Sätze und bewiesene

Beispielaussagen, die in der Vorlesung oder den Lehrunterlagen

mitgeteilt wurden, z.B. das Sandwichlemma,

oder der Satz über den Grenzwert des Produktes konvergenter

Folgen. Bei diesen Dingen handelt es sich um sauber

bewiesene mathematische Tatsachen.

Dass eine mathematische Tatsache unserem Evidenzempfinden

entspricht, bedeutet nicht, dass bei der Argumentation

Evidenz als hinreichender Grund verwendet wurde.

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Dass eine mathematische Tatsache unserem Evidenzempfinden

entspricht, bedeutet nicht, dass bei der Argumentation

Evidenz als hinreichender Grund verwendet wurde.

Wann ist ein Grund hinreichend?

Welche Kriterien gelten hier?

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Wenn er die logische Gestalt \(A\Rightarrow B\) hat,
wobei die Prämisse \(A\) als bereits bewiesen vorausgesetzt
wird. Was die Herleitung der Wahrheit der
Implikation anbetrifft, ist diese sicher häufig mehrstufig.
Unter Mathematikern gibt es da aber in der Regel
wenig Diskrepanzen, wenn man von solchen Dingen
wie Anerkennen des Auswahlaxioms oder solchen
mühseligen Verrenkungen wie dem Intuitionismus absieht.

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Danke für die Erklärung.

Damit kann ich etwas anfangen.