Zeigen Sie, dass es kein A ∈ M(3,3 ; ℝ) gibt bei dem gilt A² = -I3

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz

habe Probleme mit der obigen Aufgabe. Ehrlich gesagt, weiß ich nicht mal was genau von mir erwartet wird.

Wofür genau steht die ? Mir ist bewusst, dass I die Einheitsmatrix ist aber wofür ist die 3 da?

Vielen Dank

Comments

Steht für 3x3 Matrix, also eine Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten. Insgesamt hat Matrix also 9 Einträge, wobei doe Diagoaleinträge -1 sind.

Answer 1

Aloha :)

Die 3 bedeutet, dass es die dreidimensionale Einheitsmatrix ist, d.h.$$-\mathbf 1_3=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\quad;\quad\operatorname{det}(-\mathbf1_3)=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1$$

Gemäß des Determinanten-Multiplikationssatzes gilt:$$\operatorname{det}(A^2)=\operatorname{det}(A)\cdot\operatorname{det}(A)\ge0$$

Die Determinante von \(A^2\) ist sicher \(\ge0\), daher kann \(A^2\) nie einer Matrix entsprechen, die eine negative Determinante hat.