Zeigen Sie, dass ein m ∈ N existiert, so dass es einen Isomorphismus zwischen R

Question

Aufgabe:

Es sei
Pn(R) := {p : R → R Polynom vom Grad kleiner gleich n}.
Zeigen Sie, dass ein m ∈ N existiert, so dass es einen Isomorphismus zwischen R
m und Pn(R) gibt?
Geben Sie einen solchen Isomorphismus an sowie eine Basis für Pn(R) an. Welche Dimension hat
Pn(R)?

Problem/Ansatz

ich habe solche Verständnisporbleme

es fängt schon damit an , dass ich nicht mal verstehe was ein Polynom ist

Answer 1

Ein Polynom ist hier eine Funktion p:ℝ→ℝ, deren Funktionsgleichung

sich auf die Form \(  p(x)=a_{n} \cdot x^{n} +  a_{n-1} \cdot x^{n-1} +\dots +  a_{1} \cdot x + a_0   \)

bringen lässt. Das n ist dann der Grad des Polynoms.

Die Zahlen \( a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) sind die Koeffizienten des Polynoms.

Wenn man Polynome addieren will, hat die Summe als Koeffizienten die Summen der

Koeffizienten der beiden Summanden und wenn man ein Polynom mit einem z∈ℝ

multiplizieren will, muss man nur die Koeffizienten alle mit z multiplizieren und

hat so die Koeffizienten des produktes.

Deshalb ist der gesuchte Isomorphismus die Abbildung

f : \(   P_n( ℝ )  \rightarrow ℝ^{n+1}\)  mit \( f(a_{n} \cdot x^{n} +  a_{n-1} \cdot x^{n-1} +\dots +  a_{1} \cdot x + a_0 ) = \begin{pmatrix} a_n\\a_{n-1}\\\dots\\a_0 \end{pmatrix} \)

und das gesuchte m ist m=n+1. Also dim(P_n(ℝ))=n+1 und eine Basis bilden die

Polynome mit den Funktionstermen xⁿ , x^n-1 , .... , x , 1 .