Zeigen Sie, dass ein m ∈ |N existiert, so dass es einen Isomorphismus zwischen Rm und Pn(R) gibt?

Question

Aufgabe:

Es sei
Pn(R) := {p : R → R Polynom vom Grad kleiner gleich n}.

Zeigen Sie, dass ein m ∈ |N existiert, so dass es einen Isomorphismus zwischen Rm und Pn(R) gibt?
Geben Sie einen solchen Isomorphismus, sowie eine Basis für Pn(R) an. Welche Dimension hat Pn(R)?

Problem/Ansatz:

ich komme bei oben stehender Aufgabe nicht voran.

Für den Isomorphismus müssen wir Bijektivität und Homomorphismus nachweisen. Bijektiv ist es, wenn Surjektivität und Injektivität vorliegen.

Wie nutze ich das also, um eine Basis zu ermitteln und die Dimension zu bestimmen?

Comments

\( P_n(\mathbb R) \) hat Basis \( (1,x,...,x^n) \), d.h. Dimension n+1.

Es gilt: Ist V ein K-Vektorraum der Dimension m, so ist \( V \cong K^m \).

---

Vielen Dank für die zeitnahe Antwort.

Ich verstehe nicht, warum in der Basis die "1" vorhanden ist und nicht direkt bei "x" begonnen wird.

Außerdem muss noch der Isomorphismus nachgewiesen. Kann dies einfach mit
m, n ∈ P
f (m • n) = f (m) • f (n)

erfolgen oder ist das falsch / unzureichend?

---

Wie willst du denn sonst z.B. Polynome wie \( x^2 + 2x - 3 \) als Linearkombination von \( (x,...,x^n) \) darstellen, wenn da keine 1 enthalten ist?

Du kennst eine Basis von K^m (Standardbasis) und jetzt auch eine von P_n(K) (Standardmonombasis siehe oben), eine lineare Abbildung ist durch Angabe auf einer Basis eindeutig bestimmt, zudem gilt: Bildet die lineare Abbildung eine Basis auf eine Basis ab, ist sie ein Isomorphismus.

---

\( P_n (\mathbb{R})"Pn(R) \) hat Basis \( (1,x,...,x^n)(1,x,...,xn)  \), d.h. Dimension \( n+1 \).

Es gilt: Ist V ein K-Vektorraum der Dimension m, so ist V \cong K^mV≅Km."

Durch welche Schritte kommt man denn auf die Basis bzw. woran kann man diese einfach so erkennen?

Answer 1

grüße gehen raus aus Uni Potsdam

Comments

Wehe du schreibst ab, dann bekommen wir alle abzug