Aufgabe:
Bezeichne V den reellen Vektorraum R[X] und M ⊂ R eine Menge mit d Elementen. Seien
U1:= { f ∈ R[X] | ∀m ∈ M : f(m) = 0}, U2 := { f ∈ R[X] | deg(f) ≤ d − 1} zwei Untervektorräume von V und weiter Φ: V → Abb(M, R) die durch Φ(f)(m) := f(m) gegebene
lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass Φ|U2 : U2 → Abb(M, R) ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
b) Folgern Sie mit dem Homomorphiesatz, dass auch gilt: V/U1 ∼= Abb(M, R).
c) Folgern Sie, dass U2 ein Komplement von U1 ist.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden: Ein Polynom in K[X] von Grad n ∈ N0 hat
höchstens n Nullstellen in K.
Problem/Ansatz:
Isomorphismus bedeutet bijektiver Homomorphismus, und ein Homomorphismus ist gezeigt, in dem man beweist, dass die Abbildung linear ist. Aber wir könnte man zeigen, dass der Homomorphismus bijektiv ist?
Oder ist der bessere Ansatz, der mit dem Satz: "Zwei endlichdimensionale Vektorräume über K sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben"? dim(U2)=d aber wie kann man zeigen, dass auch dim(Abb(M,R)) = d ist?
Vielen Dank im Voraus!!
