Question

Es seien V,W Vektorräume über einem Körper K und ƒ : V → W eine lineare Abbildung.

Zeigen Sie:

1)

Ist U ⊂ V ein Untervektorraum mit U ∩ Kern(ƒ) = {0}, dann ist die Einschränkung von ƒ auf U injektiv.

2)

Ist U ein Komplement von Kern(ƒ) in V, dann ist die Einschränkung von ƒ auf U ein Isomorphismus von U nach Bild(ƒ).

Answer 1

Für jede lineare Abbildung f gilt ker(f)={0} genau dann, wenn f injektiv ist. Ferner ist jede injektive lineare Abbildung auch surjektiv und umgekehrt. Nun zu den Aufgaben: 1) Der Schnitt vom Kern und U ist 0. Was folgt daraus für den Kern der Einschränkung von f auf U? Ist ein Einzeiler. 2) Die ist einfach blöd formuliert^^ Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus und eine lineare Abbildung ist ein sogenannter Vektorraumhomomorphismus. Also musst du nur zeigen, dass die Einschränkung bijektiv ist (denk an das, was ich eingangs schrieb). So, nun musst du zwei Dinge zeigen: 1. f(U)=Bild(f), schau die Definition von bild(f) an und bedenke, dass U komplementär zum Kern(f) ist. 2. Einschränkung von f auf U ist injektiv und damit bijektiv. Du kannst zeigen, dass der Kern von dieser Einschränkung trivial ist, also nur aus der 0 besteht. Falls du nicht klarkommst stelle eine konkrete Frage. LG

Comments

Ferner ist jede injektive lineare Abbildung auch surjektiv und umgekehrt.

Das ist ja wohl nicht dein Ernst

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Nein ist es tatsächlich nicht, das habe ich falsch formuliert, meinte Endomorphismus (zumindest im endlich-dimensionalen Fall). Habe gerade aber auch gesehen, dass sich die Aufgabe nicht auf diesen Fall bezieht (sondern zw. 2 versch. VR), weshalb man meine Antwort getrost in die Tonne hauen kann. Vielen Dank für den Hinweis

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Doch, dass gilt zumindenst für ℝ³ → ℝ³.

http://vorhilfe.de/forum/Surjektivitaet/t283177?v=t

Wenn dass in dieser Aufgabe ganz sicher zutrifft, gibt es eine BesteAntwort bewertung ;).

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Ja, da handelt es sich ja auch um einen Endomorphismus. Wenn du keine Details bei der Aufgabenstellung ausgelassen hast gilt das aber im Allgemeinen nicht. Aber den ersten Teil kannst du immerhin so machen, wie ich beschrieben habe