Gegeben seien die Vektorräume V und die lineare Abbildung F : V → V

Question

Aufgabe: Gegeben seien die Vektorräume V und die lineare Abbildung F : V → V . Zeigen Sie:

(a) Fix(F ) := {v : F (v) = v} ist ein Untervektorraum von V .
(b) Für v ∈ V mit F (v) ̸ = 0 und (F ◦ F )(v) = 0 sind v und F (v) stets linear unabhängig.

Answer 1

Verwende ein Unterraumkriterium etwa:

1)    0∈Fix(F)  und 2) jede Linearkombination zweier Elemente von

Fix(F) ist wieder in Fix(F).

zu 1)    0(0-Vektor)=0-Vektor . ✓

zu 2) Seien x,y ∈ K (wenn es ein K-Vektorraum ist).

Und v,w ∈ Fix(F).

==>    F(v)=v und F(w)=w

==> F(xv+yw) = (wegen Linearität xF(v)+yF(w)= xv+yw.  ✓